Espacio Motivic Thom de un Bundle trivial

Question

Estaba intentando aprender algo de teoría de homotopía motivacional y estoy atascado en este problema.

Dejemos que $p: E \rightarrow X$ sea un haz de vectores sobre un esquema suave X. Definimos el espacio Thom $\textbf{Th(E) }$ := $E/E-i(X)$ . En el sitio web $ i: X \rightarrow E$ es la sección cero.

Estaba tratando de calcular el espacio Thom de un haz trivial.

Por definición, debe ser $\mathbb{A}^n \times X/ (\mathbb{A}^n - \{ 0 \}) \times X. $ . Pero cómo demostrar que esto es lo mismo que $\mathbb{A}^n / \mathbb{A}^n - \{ 0 \} \wedge X_+$ ?

Probablemente sea algo trivial y pueda estar pasando algo por alto. ¿Hay algún tipo de propiedad de "escisión" en juego aquí?

Gracias de antemano.

Answer 1

Este es un esbozo de la afirmación que hice en los comentarios. En realidad, no tiene nada que ver con la (geometría algebraica) o la (teoría de la homotopía), sino con la (topología general) a la antigua.

La afirmación que queremos mostrar es:

Dejemos que $B \subseteq A$ . Entonces $(A \times X)/(B \times X) \cong A/B \wedge X_+$ .

En primer lugar, observe que a partir de la definición es fácil ver que $A/B \wedge X_+ \cong (A/B \times X)/(B/B \times X)$ . Consideremos ahora el mapa compuesto $$A \times X \to A/B \times X \to (A/B \times X)/(B/B \times X) \cong A/B \wedge X_+.$$ Este mapa envía $B \times X$ al punto base, por lo que obtenemos un mapa $(A \times X)/(B \times X) \to A/B \wedge X_+$ y afirmo que se trata de un homeomorfismo. Es continuo y abierto por construcción, y no es difícil ver que es biyectivo. Tal vez el dibujo de un par de imágenes sería más convincente.