Extensión del campo $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5} i, \sqrt[3]{2} )$

Question

Estaba estudiando para mi examen de álgebra cuando me encontré con este problema. Pedía encontrar $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5} i, \sqrt[3]{2} ): \mathbb{Q}]$ que no era un problema usando torres.

Las siguientes dos partes de la pregunta me costaron. Se pedía demostrar que $\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i $ es un elemento primitivo de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5} i, \sqrt[3]{2} )$ . Supongo que tengo que demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5} i, \sqrt[3]{2} ) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ . No estoy seguro de cómo empezar esto.

La tercera parte pide encontrar un polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i$ en $\mathbb{Q}$ donde de nuevo me pierdo.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia

Obviamente, $$\sqrt[4]{5}\sqrt[3]2i\in \mathbb Q(\sqrt[4]{5}i,\sqrt[3]{2}).$$ Además, su polinomio mínimo viene dado por $$x^{12}-5^32^4.$$ Por lo tanto, $$\mathbb Q(\sqrt[4]{5}i,\sqrt[3]{2})=\mathbb Q(\sqrt[4]{5}\sqrt[3]2i),$$ porque ambas extensiones tienen el mismo grado.

Answer 2

Para demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5} i, \sqrt[3]{2} ) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ Sólo hay que demostrar que ambos $\sqrt[4]{5} i$ y $\sqrt[3]{2}$ están en el campo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ .

Pero esto es fácil: tenemos $(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)^4 = 10\sqrt[3]{2}$ y $(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)^9 = 200\sqrt[4]{5} i$ Por lo tanto $\sqrt[3]{2} = \frac 1 {10}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)^4$ y $\sqrt[4]{5} i = \frac 1{200} (\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)^9$ son ambos en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ .

Finalmente, por las dos primeras preguntas, debe quedar claro que el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ en $\Bbb Q$ es $12$ . Pero el elemento $\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i$ ya es raíz de un grado $12$ polinomio sobre $\Bbb Q$ , a saber $x^{12} - 2000$ . Por lo tanto, este es el polinomio mínimo de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5} i)$ en $\Bbb Q$ .