Optimización funcional: maximizar una integral doble donde el funcional aparece dos veces

Question

Por favor, ayúdenme a resolver el siguiente problema de optimización. Suponga que tiene que elegir una función $U: [0,1]\mapsto [0,1],$ que debe ser no decreciente ( $U'\geq 0$ ) para maximizar la siguiente integral:

\begin {align} L[U] & = \int_0 ^1 \int_y ^1 (x-y) f(x)f(y)(1-G[U(y)-U(x)]) dx dy \nonumber \\ & \quad + \int_0 ^1 \int_0 ^y (y-x) f(x)f(y)G[U(y)-U(x)] dx dy, \end {align}

donde el $f$ es una función de densidad de probabilidad y $G$ es una función de densidad acumulada. Ambas son conocidas, genéricas, sin supuestos particulares. Sólo hay que suponer $[0,1]$ es en su apoyo.

El problema es que $U$ aparece dos veces dentro de la integral, así que no puedo (o no sé cómo) resolver esto con cálculo de variaciones o control óptimo.

¿Alguien sabe cómo resolver esto? ¿O si se puede resolver en absoluto (bajo qué supuestos)? ¿O tal vez una referencia? Por favor, indíqueme la dirección correcta.

Answer 1

Es necesario diferenciar con respecto a cada ocurrencia de $U$ y sumar todas las contribuciones. Para el primer término, diferenciando la integral interna con respecto a $U(y)$ produce

$$ \int_y^1(y-x)f(x)f(y)g[U(y)-U(x)]\,\mathrm dx\;. $$

Para diferenciar con respecto a la otra ocurrencia, primero se intercambia el orden de integración e intercambio $x$ y $y$ ,

\begin {align} & \int_0 ^1 \int_y ^1(x-y)f(x)f(y)(1-G[U(y)-U(x)])\N-, \mathrm dx, \mathrm dy \\ =& \int_0 ^1 \int_0 ^x(x-y)f(x)f(y)(1-G[U(y)-U(x)])\N-, \mathrm dy\, \mathrm dx \\ =& \int_0 ^1 \int_0 ^y(y-x)f(y)f(x)(1-G[U(x)-U(y)])\N-, \mathrm dx, \mathrm dy\a;, \end {align}

y luego diferenciar la integral interna con respecto a $U(y)$ :

$$ \int_0^y(y-x)f(x)f(y)g[U(x)-U(y)]\,\mathrm dx\;. $$

Desde $U$ no es decreciente, las dos contribuciones pueden combinarse en

$$ \int_0^1(y-x)f(x)f(y)g\left[-\left|U(y)-U(x)\right|\right]\,\mathrm dx\;. $$

Procediendo de la misma manera para los segundos términos se obtiene una contribución

$$ \int_0^1(y-x)f(x)f(y)g\left[\left|U(y)-U(x)\right|\right]\,\mathrm dx\;. $$

Por lo tanto, la condición de estacionariedad de $L[U]$ es

$$ \int_0^1(y-x)f(x)f(y)\left(g\left[\left|U(y)-U(x)\right|\right]+g\left[-\left|U(y)-U(x)\right|\right]\right)\,\mathrm dx=0 $$

para todos $y\in[0,1]$ .