Demostrar que $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}, x\mapsto x^p$ para $p\geq 1$ es convexo.

Question

Demostrar que $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}, x\mapsto x^p$ para $p\geq 1$ es convexo.

Intenté usar esta cadena de desigualdades: $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}\leq \frac{f(x_6)-f(x_5)}{x_6-x_5}$$ si $a<x_1<x_2\leq x_3 <x_4 \leq x_5 <x_6<b$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

SUGERENCIA.-Aplicando un teorema conocido sobre la convexidad, la demostración es inmediata ya que $p\ge1$ ( Mira la respuesta de Aqua ). Si quieres explicitar una prueba para el caso particular de tus funciones exponenciales puedes hacer lo siguiente (entre otras posibilidades).

►Es fácil comprobar que el arco de la curva entre el origen y un punto arbitrario $(a, f (a))$ es convexo porque este segmento tiene la ecuación $y(x) =\dfrac {f (a)}{a}x$ para $0\le x\le a$ .

►Se deduce que si $b\gt a$ el arco de la curva de $(a,f(a))$ a $(b,f(b))$ también es convexo porque si no entonces hay un punto $c$ en el intervalo $[a,b]$ tal que $f(c)$ dos valores distintos. ¿Puedes ver por qué? Ayúdate con la figura adjunta.