Evaluación de la integral de Fourier

Question

Estamos haciendo integrales de Fourier en clase, pero por desgracia no tengo ni idea de cómo empezar a abordar esta. Los ejemplos que hemos hecho en clase eran mucho más simples que este:

$$ \int_0^\infty \dfrac {w^3\sin(xw)}{w^4+4}dw = \dfrac{1}{2}\pi e^{-x}\cos(x) $$ cuando x > 0

¿Alguna idea?

Answer 1

Tomaría su transformada senoidal de Fourier de $e^{-x}\cos x$ y ver que es consistente con lo que está a la izquierda. $$ \int_0^{\infty} e^{-x}\cos x \sin w x\,dx =\int_0^{\infty} e^{-x}\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\frac{e^{iwx}-e^{-iwx}}{2i}\,dx$$ Multiplica los exponenciales y evalúa: $$\frac{-1}{4i}\left(\frac{1}{-1+i+iw}-\frac{1}{-1+i-iw}+\frac{1}{-1-i+iw}-\frac{1}{-1-i-iw}\right)$$ Que se acumula en $$\frac{-1}{4i}\left(\frac{-2iw}{(-1+i)^2+ w^2}+\frac{-2iw}{(-1-i)^2+ w^2} \right)$$ se simplifica a $$\frac{w}{2}\left(\frac{1}{-2i + w^2}+\frac{1}{2i+ w^2} \right)$$ y se reduce a $$\frac{w}{2} \frac{2w^2}{4 + w^4} $$