Ampliación del espacio $PC(a,b)$ para incluir funciones con una o más singularidades infinitas

Question

Estoy leyendo un libro de análisis de Fourier y en el capítulo sobre convergencia y completitud de conjuntos ortogonales de funciones tengo una parte que no entiendo. He subido la parte como imagen y he resaltado las partes relevantes en el texto:

Lo que me interesa es la parte morada (los otros recuadros de colores están ahí sólo para dar más información). Mi pregunta es:

¿Por qué se puede ampliar el espacio $PC(a,b)$ para incluir funciones como en el ejemplo de la imagen simplemente permitiendo integrales impropias en la definición del producto interior y la norma para las funciones en $PC(a,b)?$ Esto en no está claro para mí, ¿puede alguien concretarlo? ¿Ejemplo?

¡Gracias por cualquier ayuda! Por favor, avísame si necesitas más información o si la imagen no es clara. He intentado dar toda la información necesaria en la imagen.

P.D.

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Answer 1

El espacio $PC(a,b)$ de funciones continuas a trozos (funciones p.c.) en el intervalo $[a,b]$ no está completo; este es el contenido del ejemplo de la imagen de la izquierda en el PO. La definición de las funciones p.c. se da en la imagen superior derecha del PO: observamos que un elemento de $PC(a,b)$ puede tener un número finito de "saltos" y todos ellos deben ser finitos.

¿Cómo lograr la exhaustividad? El autor trató de ampliar $PC(a,b)$ con funciones $f$ admitiendo

1. saltos no finitos (como $f(x)=x^{-\frac{1}{4}})$ para $x>0$ y $f(0)=0$ en el ejemplo)
2. integral convergente absoluta, es decir

$$\int_a^b |f(x)|dx <\infty $$

Llamemos a este espacio $PC_\infty(a,b)$ ; contiene el original $PC(a,b)$ . El espacio ampliado $PC_\infty(a,b)$ admite el mismo producto escalar definido en $PC(a,b)$ (debido a la convergencia absoluta de los elementos de $PC_\infty(a,b)$ ); sin embargo, la integral puede ser impropia, como se muestra en

$$\langle f, 1 \rangle := \int_0^1\frac{1}{x^\frac{1}{4}}dx:=\lim_{t\rightarrow 0^+} \int_t^1\frac{1}{x^\frac{1}{4}}dx$$

donde consideramos $PC_\infty(0,1)$ y $f$ como en el ejemplo de la OP. Con $1$ nos referimos a la función constante $g(x)=1$ en $[0,1]$ . El resultado del producto escalar $\langle f, 1\rangle$ ¡es finito!

El problema es que incluso $PC_\infty(a,b)$ no es lo suficientemente grande como para estar completo: este es el significado del párrafo en el cuadro violeta de la imagen izquierda del PO.