WolframAlpha parece sugerir que $log(z) = log(-z)$

Question

Wolfram-Alpha devuelve este fragmento al final de la "solución paso a paso":

Me confunde la negación de la expresión dentro del logaritmo. La definición de logaritmo complejo es:

$$log(z) = ln|z| + i (Arg(z) + 2k\pi)$$

Un ejemplo fácil es $z = 1$ , lo que da $log(z) = 0$ y $log(-z) = i\pi$ . Así que $log(z) \ne log(-z)$ en el caso general.

¿Me estoy perdiendo algo obvio aquí? Gracias por cualquier indicación.

Answer 1

Recordemos que $\log(r e^{i\theta})=\log(r)+i(\theta +2n\pi)$ , donde $n$ es un número entero. También $e^{i\pi}=-1$ Así que $$\log(-z)=\log(z e^{i\pi})=\log(r e^{i\theta+\pi})=\log(r)+i((2n+1)\pi+\theta)=\log(z)+i\pi$$

Así que parece que la confusión que surge de la expresión de wolfram alfa es la $+$ constante plazo.

Answer 2

Tenga en cuenta que $|1-2e^{it}| = |-1+2e^{it}|$ . Así que si hay alguna diferencia en las dos expresiones, es en el argumento. El argumento de $1-2e^{it}$ es igual a $\pi$ más el argumento de $-1+2e^{it}$ ya que es el vector opuesto. Este $\pi$ (tiempos $i$ , de $i(\arg z+2k\pi)$ ) se absorbe en el "+constante".