Cálculo de la derivada de Frechet

Question

Dejemos que $F:C^{([-1,1])}\rightarrow C^{([-1,1])}$ definido como $F(q)(x)=q^{2}(-x)$ .

Quiero encontrar la derivada de esta función mi estrategia actual es usar la derivada direccional así que $dF(q)(x)h= \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} (q+\epsilon h)^{2}(-x)=2hq(-x)$ .

¿Es esto correcto o tengo que hacer algo diferente?

Answer 1

Dejemos que $\mathrm{H} = \mathscr{C}(\mathrm{I}),$ el espacio de las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo compacto $\mathrm{I}$ la con norma de suprema. Sea $s$ sea la función $\mathrm{H} \to \mathrm{H}$ dado por $s(f)(x) = f(-x),$ $z$ la función $\mathrm{H} \to \mathrm{H} \times \mathrm{H}$ dado por $q \mapsto (q, q)$ y que $B$ la función $\mathrm{H} \times \mathrm{H} \to \mathrm{H}$ dado por $B(f,g) = fg.$ Es fácil ver $s$ y $z$ son funciones lineales continuas y $B$ es un bilineal continuo (con $\|B\| \leq 1$ ). La función que se quiere diferenciar está dada $F = B \circ z \circ s.$ Por la regla de la cadena, $F'(q) = B'(s(q), s(q)) \circ z \circ s;$ por lo tanto, $F'(q) \cdot h = B'(s(q), s(q)) \cdot (s(h), s(h)) = 2 s(q) s(h),$ si se evalúa en un punto $x$ esto se convierte en $\big(F'(q) \cdot h \big)(x) = 2q(-x)h(-x).$ Q.E.D.