Supongamos que $u,v \in \mathbb R^n$ con $u,v$ no es igual a $\mathbf 0$ y que $A= I + uv^\top$ .

Question

a) Demuestre que $1+v^\top u$ es un valor propio de $A$ y $u$ su vector propio.

b) Definir el subespacio $S$ de $\mathbb R^{n}$ para ser $$S=\{x \in \mathbb R^{n}\mid v^\top x=0\}= \operatorname {null}(v^\top).$$

Encuentra la dimesión de $S$ .

Answer 1

Para b) Esta es una alternativa más: Se puede pensar en

$v^t$ como una transformación lineal $\Bbb{R^n}$ a $\Bbb{R}$

$v$ al ser distinto de cero implica que el rango de esta transformación es $1$ por lo que la nulidad es $n-1$ .