Una variedad compacta de Riemann se llama geométricamente formal si el producto cuña de dos $d$ -formas armónicas es $d$ -armónica. ¿Existen resultados conocidos para cuando una variedad compleja compacta no Kahler admite una métrica hermitiana tal que el producto cuña de dos ${\bar{\partial}}$ -formas armónicas es ${\bar{\partial}}$ -¿armónico?
Respuesta
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En un artículo de S. Torelli y A. Tomassini, "On Dolbeault formality and small deformations" (que aparecerá en Internat. J. Math.), los autores estudian la formalidad (geométrica) de Dolbeault. En particular, investigan el comportamiento de la formalidad (geométrica) de Dolbeault bajo pequeñas deformaciones de la estructura compleja.
En particular, demuestran que estas propiedades no son estables bajo pequeñas deformaciones. Se proporciona un ejemplo sobre la variedad de Nakamura (es decir, una de las más simples solvamentes no ilotantes en dimensión compleja $3$ ). Es geométricamente Dolbeault formal (y por tanto también Dolbeault formal); y admite pequeñas deformaciones para las que existen productos de Dolbeault Massey no triviales (y por tanto son no-Dolbeault formales).
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Creo que se puede argumentar como en el artículo D. Kotschick, S. Terzic: La formalidad geométrica de los espacios homogéneos y biquotientes. Pacific J. Math. 249 (2011). On a homogeneous space with a homogeneous Hermitian metric, $\bar{\partial}$ -Las formas armónicas son invariantes. Si la cohomología de Dolbeault es un álgebra exterior sobre dos generadores de grado impar, la única cuña no trivial que hay que comprobar es un múltiplo constante de la forma de volumen y por tanto $\bar{\partial}$ -armónica. Esto debería implicar la geometría $\bar{\partial}$ -formalidad de las variedades de Calabi-Eckmann $S^1\times S^{2n-1}$ .
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Para más ejemplos relacionados con (la geometría) $\bar{\partial}$ -se pueden consultar los artículos (D. Angella, G. Dloussky, A. Tomassini: On Bott-Chern cohomology of compact complex surfaces) y (L.A. Cordero, M. Fernandez, A. Gray, L. Ugarte: Teoría de la homotopía de Dolbeault y nilmanifolds compactos)