Fórmula de Poisson para una bola general

Question

Demostrar la fórmula de Poisson para una bola general $B_R(x_0)\subset\mathbb{R}^n$ $$ u(x)=\frac{1}{\sigma_n R}\int_{S_R(x_0)}\frac{R^2-\lVert x-x_0\rVert^2}{\lVert\xi-x\rVert^n}\varphi(\xi)\, d\sigma\text{ for }x\in B_R(x_0) $$ partiendo de la fórmula de Poisson de la bola unitaria $B_1(0)\subset\mathbb{R}^n$ $$ u(x)=\frac{1}{\sigma_n}\int_{S_1(0)}\frac{1-\lVert x\rVert^2}{\lVert \xi-x\rVert^n}\varphi(\xi)\, d\sigma\text{ for }x\in B_1(0). (*) $$

Editar:

No vengo con esto, porque no sé exactamente qué hacer resp. con qué empezar.

Mi primera idea es, considerar la transformación de coordenadas

$$ \psi\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, (x_1,x_2,\ldots,x_n)\longmapsto (Rx_1+x_1^0,\ldots,Rx_n+x_n^0) $$ Ahora, simplemente pondría eso en (*), es decir

$$ u(\psi(x))=\frac{1}{\sigma_n}\int_{S_1(0)}\frac{1-\lVert\psi(x)\rVert^2}{\lVert\xi-\psi(x)\rVert^n}\varphi(\xi)\, d\sigma $$

Ahora tengo que integrar por sustitución creo.

¿Cómo puedo hacerlo? ¿Tengo que escribir primero esa integral en coordenadas esféricas n-dim.

Answer 1

Estás sustituyendo en el lugar equivocado. $\varphi$ se define en $S_R(x_0)$ por lo que al utilizar la integral de Poisson para la bola unitaria, se debe tener $\varphi(\psi(\zeta))$ (con $\zeta\in S_1(0)$ ) en el integrando. Y como eso te da una función armónica en la bola unitaria, mientras que tú quieres una función armónica en $B_R(x_0)$ la integral sobre la esfera unitaria nos da $u(\psi(y))$ para $y \in B_1(0)$ Así que

$$u(\psi(y)) = \frac{1}{\sigma_n} \int_{S_1(0)} \frac{1-\lVert y\rVert^2}{\lVert \zeta - y\rVert^n}\varphi(\psi(\zeta))\, d\sigma(\zeta).$$

Ahora escribiendo $x = \psi(y)$ y $\xi = \psi(\zeta)$ le da una transformación relativamente sencilla a la forma deseada, ya que $\lVert \xi-x\rVert$ puede expresarse fácilmente utilizando $\zeta-y$ y $\lVert x-x_0\rVert$ con la misma facilidad utilizando $y$ .