La norma de los ideales es multiplicativa

Question

Tengo dos preguntas:

1.) ¿Por qué tenemos, para un ideal primo $ 0 \not= \mathcal p \subset \mathcal O $ que $\mathcal p^n / p^{n+1} \cong \mathcal O/\mathcal p $ (como grupos) ?

2.) ¿Y por qué se deduce de esto que la norma de los ideales es multiplicativa?

Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

Supongamos que $R$ es un anillo Dedekind. Definimos la norma de un ideal no nulo $\mathfrak{a}\subseteq R$ como sigue $$N(\mathfrak{a}) = |R/\mathfrak{a}|$$

Si $R$ es un anillo numérico de alguna extensión finita de $\mathbb{Q}$ entonces esta norma es siempre finita. Sea $\mathfrak{a},\mathfrak{b}\subseteq R$ sean ideales no nulos de $R$ . Tenemos descomposiciones

$$\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{\alpha(\mathfrak{p})},\,\mathfrak{b} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{\beta(\mathfrak{p})}$$

en productos de ideales primos (las descomposiciones son esencialmente finitas como es habitual). Tenemos

$$\mathfrak{a}\cdot \mathfrak{b} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{\alpha(\mathfrak{p}) + \beta(\mathfrak{p})}$$

Ahora por la forma abstracta del teorema del resto chino

$$R /(\mathfrak{a}\cdot \mathfrak{b}) = \prod_{\mathfrak{p}}R/\mathfrak{p}^{\alpha(\mathfrak{p}) + \beta(\mathfrak{p})}$$

y por lo tanto

$$N(\mathfrak{a}\cdot \mathfrak{b}) = \prod_{\mathfrak{p}}|R/\mathfrak{p}^{\alpha(\mathfrak{p}) + \beta(\mathfrak{p})}|$$

Para demostrar que la norma es multiplicativa basta con comprobar que para un único ideal primo $\mathfrak{p}$ y un número entero no negativo $k$ tenemos $|R/\mathfrak{p}^k| = |R/\mathfrak{p}|^k$ . De hecho, si este es el caso, entonces

$$|R/\mathfrak{p}^{\alpha + \beta}| = |R/\mathfrak{p}|^{\alpha +\beta} = |R/\mathfrak{p}|^{\alpha}\cdot |R/\mathfrak{p}|^{\beta} = |R/\mathfrak{p}^{\alpha}|\cdot |R/\mathfrak{p}^{\beta}|$$

Así que probemos esta fórmula. Para cada $k$ tenemos series de composición

$$\mathfrak{p}^{k} \subseteq \mathfrak{p}^{k-1} \subseteq ...\subseteq \mathfrak{p}^2 \subseteq \mathfrak{p} \subseteq R$$

Por lo tanto, la cardinalidad de $R/\mathfrak{p}^k$ es el producto de las cardinalidades de los factores de esta serie de composición. Así,

$$|R/\mathfrak{p}^k|= |R/\mathfrak{p}|\cdot |\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2|\cdot ...\cdot |\mathfrak{p}^{k-1}/\mathfrak{p}^k|$$

Ahora bien, si sabemos que $\mathfrak{p}^{n}/\mathfrak{p}^{n+1} \cong R/\mathfrak{p}$ para todos $n$ entonces también

$$|\mathfrak{p}^{n}/\mathfrak{p}^{n+1}| = |R/\mathfrak{p}|$$

y por lo tanto $|R/\mathfrak{p}^k| = |R/\mathfrak{p}|^k$ para cada $k$ . Por lo tanto, la multiplicatividad de las normas se reduce al isomorfismo

$$\mathfrak{p}^{n}/\mathfrak{p}^{n+1} \cong R/\mathfrak{p}$$

para un número entero positivo $n$ . Ahora bien, esto se puede demostrar escogiendo $p\in \mathfrak{p}\setminus \mathfrak{p}^2$ . Entonces definimos

$$R/\mathfrak{p} \ni x\,\mathrm{mod}\,\mathfrak{p} \mapsto p^nx\,\mathrm{mod}\,\mathfrak{p}^{n+1} \in \mathfrak{p}^n/\mathfrak{p}^{n+1}$$

y esto es un isomorfismo.

1. Para la inyectividad hay que tener en cuenta que $p^nx \in \mathfrak{p}^{n+1}$ implica que $$(p^n)\cdot (x) \subseteq \mathfrak{p}^{n+1}$$ y ahora mirando la factorización primaria de estos ideales y usando la suposición de que $p\not \in \mathfrak{p}^2$ se consigue que $x\in \mathfrak{p}$ .

2. Para la subjetividad tenemos $\mathfrak{p}^{n+1} \subsetneq(p^n)+ \mathfrak{p}^{n+1}\subseteq \mathfrak{p}^n$ lo que implica que $(p^n)+ \mathfrak{p}^{n+1}= \mathfrak{p}^n$ por la unicidad de la descomposición en ideales primos en $R$ .