Las formas cuadráticas pseudoconvexas son cuasi convexas

Question

He estado tratando de mostrar: Una forma cuadrática Pseudoconvexa es Cuasiconvexa en el mismo conjunto X, utilizando las siguientes definiciones. Estas definiciones son equivalentes a las definiciones estándar de Pseudo y Cuasiconvexidad de las formas cuadráticas. En el lema 8 de la prueba se dice que esto se deduce de la continuidad. No soy capaz de entender cómo utilizar la continuidad para demostrar esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $Q$ es Pseudoconvexo y dejemos que $x$ y $y$ estar en $X$ .

Si $x'Cx-y'Cy >0$ entonces por la pseudoconvexidad de $Q$ se deduce que $(x-y)'Cx > 0$ .

Supongamos que $x'Cx-y'Cy =0$ . Supongamos, por el contrario, que $(x-y)'Cx < 0$ es decir $x'Cx-y'Cx<0$ . Así que

$$(x-y)'C(x-y) = x'Cx+y'Cy-2y'Cx = 2x'Cx-2y'Cx <0$$ Por lo tanto, $$0'C0-(x-y)'C(x-y)>0$$ Por la pseudoconvexidad de $Q$ se deduce que $$(0-x+y)'C0>0$$ es decir $$0>0$$ Lo cual es absurdo. Por eso $(x-y)'Cx \ge 0$ es decir $Q$ es Quasiconvexo.