Prueba de la desigualdad de Efron-Stein

Question

Estaba repasando la prueba de la desigualdad de Efron-Stein en este (página 219). No pude entender el siguiente paso $$\mathbb E\left[V_j \mathbb E\left[V_i|X_1,...,X_j\right]\right] = 0 \text{ for } i>j.$$

No me queda claro cómo $\mathbb E\left[V_i|X_1,...,X_j\right] = 0$ para $i>j$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Observe que $j\leqslant i-1$ por lo tanto por la propiedad de la torre, $$\mathbb E\left[\mathbb E\left[Z\mid X_1,\dots,X_{i-1} \right]\mid X_1,\dots,X_j\right]=\mathbb E\left[Z\mid X_1,\dots,X_j \right].$$ Con el mismo argumento, $$\mathbb E\left[\mathbb E\left[Z\mid X_1,\dots,X_{i} \right]\mid X_1,\dots,X_j\right]=\mathbb E\left[Z\mid X_1,\dots,X_j \right],$$ por lo que restando las dos ecuaciones, obtenemos $\mathbb E[V\mid X_1,\dots,X_j]=0$ .