Supongamos que $C$ es una categoría pequeña y $D$ es una categoría localmente pequeña. Ahora, dejemos que $F, G$ sean dos objetos en $D^C$ y que $m:F\longrightarrow G$ sea un morfismo en $D^C$ . Entonces, supongo que tenemos que m es un monomorfismo si y sólo si para cada $c\in Ob(C)$ , $m_c: F(c)\longrightarrow G(c)$ es un monomorfismo. Una dirección es fácil de demostrar, pero no sé si la otra es cierta o no. Si es cierto, ¿cuál es la prueba? Si no es cierto, ¿qué pasa si D es una categoría abeliana? Principalmente, estaba tratando de demostrar que es cierto si D es una categoría abeliana, pero no pude.
Respuesta
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Este resultado no es cierto en general. Consideremos la categoría $C$ generado por el gráfico con aristas $x\rightrightarrows y\to z,w\to y$ donde existe un morfismo único $x\to z$ . Existe una única transformación natural entre los funtores de dominio $0\to 1$ con imágenes $w\to y$ y $y\to z$ , que afirmo que es un monomorfismo, aunque $y\to z$ no es un monomorfismo en $C$ . La razón es que ningún functor $F:(0\to 1)\to C$ admitiendo una transformación natural en $w\to y$ puede incluir $x$ en su imagen, ya que no hay mapas en $w$ de cualquier asignación de objetos en $x$ . Así, $F$ factores a través de la subcategoría $w\to y\to z$ de $C$ , en cuya subcategoría nuestra transformación natural sí tiene tramos monomórficos.
Como se discutió en los comentarios, el resultado es También es cierto en cualquier categoría que admita coproductos hasta el tamaño de sus hom-sets. A grandes rasgos, estas dos condiciones garantizan que nunca se produzca la situación anterior en la que nada mapea a ambos $x$ y $w$ pero no sé si asumir precisamente que eso no ocurre nunca es suficiente. Para la condición de coproducto, el argumento preciso es que entonces si $\alpha:F\to G$ y $\alpha_c:F(c)\to G(c)$ no es un monomorfismo, entonces de un testigo de no monomorfismo de $\alpha_c$ , $f,g:x\to F(c)$ podemos construir un testigo $c_!f,c_!g:c_!x\to F$ utilizando el functor de extensión Kan izquierdo $c_!$ . Esto envía $x$ al functor $y\mapsto \coprod_{\mathrm{Hom}(x,y)} x$ y envía $f$ a la transformación natural tal que $(c_!f_y)_k=F(k)\circ f$ para cualquier $k:x\to y$ .
