Por qué la medida completa de los espacios?

Question

Esta es una vieja confusión de la mina sin una respuesta clara. Por qué, a medida completa los espacios? Sin duda, es bueno tener la propiedad de que si un conjunto de medida cero, entonces un conjunto más pequeño también debería ser así. Sin embargo, cuando miré la matemática de la literatura, soy incapaz de encontrar un solo teorema que funciona mejor para completar las medidas. Así, las únicas razones en apoyo de completar la medida parecen ser: 1)., está de acuerdo con nuestra intuición de lo que puede ser descuidado, 2)., el Caratheodory proceso de extensión automáticamente da una medida completa.

También me sorprendió darse cuenta de que en la teoría de la probabilidad, muy poco uso, es de la Lebesgue $\sigma$-álgebra. Casi siempre la Borel $\sigma$-álgebra se utiliza. Este protagonismo de Borel $\sigma$-álgebras también parece ser el caso en ergodic theory, donde se considera, por ejemplo, el espacio de todas las medidas de probabilidad en un espacio medible(generalmente equipado con un Borel $\sigma$-álgebra), y el nulo conjuntos pueden diferir de una medida a otra(por ejemplo, considere la posibilidad de Dirac medidas concentradas en diferentes puntos).

Así que, ¿cuáles son algunos de los mejores matemáticos razones para argumentar para completar las medidas? Hay algunos teoremas que no sé, que se cumplen sólo para completar las medidas? Debe haber algunos, para dar credibilidad a todos W. Rudin va-en el proceso de completar una medida importante en el análisis, si no más, el proceso de finalización de los racionales a los números reales. Uno puede fácilmente encontrar un número de teoremas del análisis que se rompen sin la menor cota superior de la propiedad de los números reales. Tal no parece ser el caso con la realización de la medida del espacio, con una mirada superficial.

Answer 1

En la teoría de procesos estocásticos es casi siempre se asume que las filtraciones que estamos trabajando son los que satisfacer a los llamados condiciones habituales, es decir, que están a la derecha y continua de sus iniciales (y por lo tanto todos) sigma-el campo completo.

Si bien es difícil dar alguna buena explicación filosófica de ese estado de cosas, una cosa es cierta: las condiciones habituales son realmente necesarios desde el punto de vista técnico, son necesarias para realizar muchas de las construcciones y demostrar teoremas de la teoría de procesos estocásticos.

La teoría general de la integración estocástica es desarrollado con respecto a las filtraciones, la satisfacción de las condiciones habituales y completa probabilidad de espacios.

Si desea ver el estocástico integración en su mayoría de forma general y muchos de los profundos teoremas que requieren las condiciones habituales suposición acerca de las filtraciones y la integridad de la asunción acerca de la probabilidad de espacios de ver "las Probabilidades y posibilidades" por Dellacherie y Meyer y "Semimartingales" por Metivier.