Una prueba para un polinomio (no constante) no puede tomar sólo primos como valor

Question

Conozco una prueba de esta afirmación, ver ¿Cómo demostrar que no existe un polinomio generador de todos los primos con cocientes racionales?

Mi pregunta es que, en el libro

Introduction to Modern Number Theory - Fundamental Problems, Ideas and Theories

por Manin, Yu. I., Panchishkin, Alexei A,

dice (p16)

Me gustaría saber si esto es correcto. Si lo entiendo bien, entonces $x^2+1$ es un contraejemplo de esto, considerando el símbolo de Legendre $(\frac{-1}{p}) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$ .

Answer 1

supongamos que el polinomio P(x) tiene valor primo para cada número entero k.supongamos que r es una raíz de P(x).entonces P(r)=0

• ahora k -r|P(k) -P(r) $ \Rightarrow $ k -r|P(k)=m=un primo. entonces claramente k -r=m o 1
• por lo que claramente k-n=un primo o 1 para todas las raíces n de P(x)
• considere P(x)=a(x-r)(x-c)(x-d)....................(x-v)[r,c,d,.........,v son raíces]
• ahora P(k)=a(k-r)(k-c)(k-d)................(k-v)=a(un primo o 1)(un primo o1)....................(un primo o 1)=una constante
• ¡¡¡¡¡¡pero P(x) no es constante.así que una contradicción!!!!!!