Si algo es cierto para cada $n\in\Bbb{N}$ ¿Implica que esa cosa es cierta para $\infty$ ?

Question

Tengo la siguiente expresión

$m(\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i)\geq \sum\limits_{i=1}^n m(E_i)$ .

Como el lado izquierdo de la desigualdad es independiente de $n$ tenemos $m(\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i)\geq \sum\limits_{i=1}^\infty m(E_i)$

No entiendo este argumento. ¿Es $\infty$ ¿un número natural? Si algo es cierto para todo número natural, ¿cómo se demuestra que es cierto para $\infty$ ? ¿Existe algún tipo de proceso limitante en este caso?

Answer 1

Tome el límite de ambos lados como $n\to\infty$ . En el lado izquierdo, no pasa nada, ya que $n$ no aparece. En el lado derecho, obtenemos exactamente $\sum\limits_{i=1}^{\infty}m(E_i)$ .

Answer 2

Para cada $n\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ todo conjunto de tamaño $n$ es finito. Por lo tanto, todo conjunto de tamaño $\infty$ es finito.

Ciertamente es no cierto que si algo es cierto para cada $n\in\mathbb N$ es cierto que $\infty$ . La intersección de cualquier número finito de conjuntos abiertos es abierta; la intersección de infinitos conjuntos abiertos no suele ser abierta.

Recordemos que $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty m(E_k)$ se define como $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n m(E_k)$ . Así que la pregunta viene a ser la siguiente: $$ \text{If }A \ge B_n\text{ for all $ n $, does it follow that }A\ge\lim_{n\to\infty} B_n\text{?} $$ Suponiendo que exista este último límite, la única alternativa es $$ A < \lim_{n\to\infty} B_n = L. $$ Asumiendo esta alternativa, dejemos $\varepsilon = \lim_{n\to\infty} B_n - A > 0$ . Por el $\text{“}\varepsilon$ - $N\text{''}$ definición del límite de una secuencia, existe $N$ tan grande que para todos los $n\ge N$ , $B_n>L-\varepsilon$ . Esto implica $B_n>A$ contradiciendo la hipótesis.

Posdata 23 horas después:

Sí: Si $A\ge B_n$ para todos $n$ entonces $A\ge \lim\limits_{n\to\infty} B_n$ .

No es así: Si $A > B_n$ para todos $n$ entonces $A > \lim\limits_{n\to\infty} B_n$ .

El hecho de que la segunda afirmación sea equivocada es otro ejemplo del hecho de que no puede decir que si algo es cierto de cada $n\in\mathbb N$ , entonces es cierto que $\infty$ .

Answer 3

Tienes razón, no es tan sencillo. Pero está bastante cerca: por definición, la suma infinita $S_\infty=\sum_{i=1}^\infty x_i$ es el límite de $S_n=\sum_{i=1}^nx_i$ . Si cada $S_n$ es inferior a un valor fijo $a$ , entonces ciertamente el límite de la $S_n$ no puede ser mayor que $a$ .