$x^{1682}+22x≡1652 (\bmod3599)$ .

Question

Hola estoy tratando de aprender el Teorema del Resto Chino y ahora tengo el problema de un antiguo examen:

$x^{1682}+22x≡1652 (\bmod3599)$ .

Bien, lo que hace que este problema sea difícil para mí es la combinación de $x^{1682}$ y $22x$ .

Mi comienzo para una solución es: La primefactorización de $3599=59\cdot 61$ y según la CRT tienen $f: Z_{3599} \to (Z_{59}\times Z_{61})$ pero después de esto básicamente se detiene. Sé cómo manejar los términos individualmente pero no combinados. Puede alguien ayudarme por favor.

Answer 1

Voy a esbozar el método que he insinuado en el comentario. Reducir el polinomio mod $59$ y $61$ y usando el pequeño Fermat con $1682\equiv 0\pmod{58},\ $ $1682\equiv 2\pmod{60}$ obtenemos, para $\,x\not\equiv 0\pmod{\!59}$

$\!\bmod\color{#c00}{59}\!:\ 0\equiv x^{1682}+22x-1652\equiv\ 1+22x-0\iff x\equiv -1/22\equiv -3/66\equiv 56/7\equiv\color{#c00} 8$

$\!\bmod 61\!:\ 0\equiv x^{1682}+22x-1652\equiv x^2\!-22x-5\iff x\equiv -9,-13\equiv a\,$ mediante la fórmula quad.

$\!\bmod 61\!:\ a\equiv x \equiv\color{#c00}{8+59k}\equiv 8-2k\iff 2k\equiv 8-a.\ $ Para las dos raíces $\,a\,$ arriba obtenemos:

• $a \equiv \ \ {-}9:\,\ 2k\equiv 17\equiv 78\iff k\equiv 39\iff x = 8\!+\!59(39\!+\!61j)\equiv 2309\pmod{\!3599}$

• $a \equiv -13:\,\ 2k\equiv 21\equiv 82\iff k\equiv 41\iff x = 8\!+\!59(\underbrace{41\!+\!61j}_{\large k})\equiv 2427\pmod{\!3599}$

También $\,x\equiv 0\pmod{\!59}\,$ es una raíz. Dejaré ese caso para ti [igual que el anterior $3$ líneas pero reemplazar $\color{#c00}8\,$ por $0$ ].

Nota: $ $ Ver aquí para una declaración precisa de cómo se levantan generalmente las raíces a través de la TRC.