Sea n, k ∈ N. Demuestre que GCD(n, n + k)|k

Question

Dejemos que $n, k\in\mathbb N$ . Demuestra que gcd $(n, n + k)|k$

Aquí está mi prueba. ¿Es correcta?

Una proposición de la teoría de los números afirma que gcd $(n,m)$ divide $an+bm$ para todos los enteros $a$ y $b$ . Un corolario (consecuencia) de esto es que si $an+bm=1$ para algunos enteros $a$ y $b$ , entonces gcd $(n,m)=1$ .

De nuevo en nuestro problema $(n+k)-n=k$ . Por lo tanto, podemos usar esto para ver que gcd $(n,n+k)=k$ .

Answer 1

Yo lo haría más sencillo. Sabemos que $\gcd(n, n+k) | n$ y $\gcd(n, n+k)|(n+k)$ . A partir de esto, está bastante claro que $\frac{n+k}{\gcd(n, n+k)} = \frac{n}{\gcd(n, n+k)} + \frac{k}{\gcd(n, n+k)}$ . El lado izquierdo es un número entero por definición. $\frac{n}{gcd(n, n+k)}$ también es un número entero por definición. Por lo tanto, $\frac{k}{\gcd(n, n+k)}$ también es un número entero. El resultado es el siguiente.