$\mathbb{C}^\times$ mod raíces de la unidad isomorfo a $\mathbb{C}^\times$

Question

Dejemos que $H = \langle i \rangle =\{ i, -1, -i, 1 \}\le \mathbb{C}^\times$ . Entonces es $\mathbb{C}^\times/H$ isomorfo a $\mathbb{C}^\times$ ?

No creo que exista un isomorfismo $\varphi : \mathbb{C}^\times \to \mathbb{C}^\times/H$ porque para cualquier $z = re^{i\theta} \in \mathbb{C}^\times$ podemos considerar $z' = re^{i(\theta+\pi/2)}$ que da $zH = z'H$ . Así que esto me hace pensar que una propiedad de isomorfismo puede romperse de alguna manera, pero no puedo hacer que funcione. O quizás el grupo cociente es isomorfo al grupo multiplicativo de los números complejos.

Answer 1

Dejemos que $n$ sea cualquier número entero positivo, y $\mu_n$ el grupo de complejos $n$ -raíces de la unidad. El mapa $\Bbb C^\times\to\Bbb C^\times$ dado por $z\mapsto z^n$ es un homomorfismo de grupo suryente con núcleo $\mu_n$ . Por el Primer Teorema del Isomorfismo, $\Bbb C^\times\cong\Bbb C^\times/\mu_n$ .

Esta es la $n=4$ caso.