Es cierto que un poliedro compacto X con trivial homología de grupos (excepto $H_{0}(X)$ del curso) es necesariamente contráctiles? Si sí, ¿cuál es el enfoque en la prueba? Si no, ¿ves un contra-ejemplo?
Respuestas
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Mark Dorsey
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El 2-esqueleto de la de Poincaré de homología de la esfera, también se puede describir como la presentación del complejo de la binarios icosaédrica grupo, proporciona un contraejemplo a tu pregunta original. El grupo fundamental es del orden de 120 y es perfecto, lo que implica que ese $H_1$ es trivial. Usted puede comprobar a partir de la presentación del grupo $ <s,t | s^{-3}(st)^2, t^{-5}(st)^2> $ que el segundo grupo de homología es trivial así.
Para resumir los comentarios: cuando Poincaré trabajó en los inicios de la topología algebraica, que originalmente se pensó que un espacio con trivial homología de grupos debe ser contráctiles. (Más precisamente, pensaba que el tener la homología de grupo de una 3-esfera implica una 3-esfera.) Sin embargo, pronto encontró un contraejemplo, la de Poincaré de homología de la esfera, lo que le llevó a la construcción del grupo fundamental.
Al tomar el grupo fundamental en cuenta, la declaración de hecho es cierto: si tiene un espacio trivial grupo fundamental y trivial mayor homología de grupos, entonces debe ser contráctiles. Esto es una consecuencia del teorema de Whitehead y el Hurewicz mapa.
Xetius
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(Este es el eliminado responder a los comentarios que se refieren a; faltaba la hipótesis acerca de la simple conectividad)
Utilizando el teorema de Hurewicz, deducir a la vez que un poliedro [Editar: si se conecta simplemente a] ha trivial homotopy grupos, por lo que es débilmente homotopy equivalente a un punto. Ya que es un CW-complejo, entonces del teorema de Whitehead dice que el poliedro es, en realidad, contráctiles.
