Me interesa saber si hay un ejemplo de un grupo infinito finito noamenable que sea residualmente finito pero que no contenga subgrupos libres no abelianos.
¿Qué ejemplos de grumos infinitos finitamente gnerados perfectos (no simples) son noamenables pero no contienen subgrupos libres?
Muchas gracias, Elisabeth
Osin y Luck dan ejemplos de grupos de torsión infinitamente generados finitamente con primera positiva $\ell^2$ -Betti (y, por tanto, noamenable) en el artículo "Approximating the first L2-Betti number of residually finite groups", J. Topol. Anal. 3 (2011), nº 2, 153-160.
http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S1793525311000532
¡Genial! En realidad, citan a Ershov (2008, people.virginia.edu/~mve2x/Research/gosha_revised4.pdf ) para los primeros ejemplos que responden a la pregunta de Elisabeth, que en realidad son infinitos f.g. Grupo T de propiedad de torsión (por lo tanto noamenable sin subgrupos libres). Estos ejemplos no se mencionan en el documento de Monod.
PD: Conocía la versión arxiv (actual) de la nota de Monod, pero los ejemplos de Ershov, así como otros más recientes, se mencionan en la versión publicada de PNAS. ( pnas.org/content/early/2013/02/27/1218426110.full.pdf )
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Buena pregunta. Los ejemplos conocidos de grupo noamenable sin subgrupos libres son los monstruos de Olshanskii, los grupos de Burnside y sus variantes, así como los ejemplos más recientes de Monod. Por lo que sé, estos grupos no son, o no se espera que sean residualmente finitos. Así que supongo que la cuestión está abierta.
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@Yvex, los grupos infinitos finitamente generados de exponente acotado nunca son residualmente finitos por la solución de Zelmanov del problema restringido de Burnside.
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Ahora recuerdo que la pregunta 14 de mi trabajo con Mann (2006, normalesup.org/~cornulier/law_rf4.pdf ) incluye la siguiente pregunta abierta estrechamente relacionada: ¿Existe un grupo finito generado finitamente, que no sea amenable y que satisfaga una ley de grupo no trivial? (Por supuesto, es aún más difícil si esperamos una respuesta positiva).
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@Benjamin: sí, lo sé: He dicho "no son, o no se espera que sean, RF", para significar que se sabe que algunos de estos grupos no son RF y que se espera que algunos no sean RF (por ejemplo, los grupos de Monod, aunque es sólo una intuición aproximada).