Esta pregunta en stackExchange quedó sin respuesta.
Dejemos que $\mathbb F$ sea un campo finito. Denotemos por $M_n(\mathbb F)$ el conjunto de matrices de orden $n$ en $\mathbb F$ . Para una matriz $A∈M_n(\mathbb F)$ cuál es la cardinalidad de $C_{M_n(\mathbb F)} (A)$ el centralizador de $A$ en $M_n(\mathbb F)$ ? ¿Hay documentos al respecto?
Tratar $F^n$ como $F[t]$ -Módulo $M^A$ , donde $t$ actúa mediante la matriz $A$ . Entonces, el centralizador puede pensarse como $\mathrm{End}_{F[t]} M^A$ . Ahora, $M^A$ tiene una descomposición primaria
$ M^A = \bigoplus_{p \in \mathrm{Irr}(F[t])} M_p$
donde $M_p$ consiste en vectores en $M^A$ que son aniquilados por algún poder de $p(A)$ . Igualmente,
$C_{M_n(F)}(A)= \mathrm{End}_{F[t]} M^A = \bigoplus_p \mathrm{End}_{F[t]} M_p$
Así que el problema se reduce al caso primario, donde el polinomio característico de $A$ es una potencia de algún polinomio irreducible $p$ .
Ahora, existe una única partición $\lambda=(\lambda_1,\dotsc,\lambda_l)$ tal que
$M_p = \bigoplus_{i=1}^l F[t]/(p(t))^{\lambda_i}$ .
Como espacio vectorial (e incluso como $F[t]$ -), el álgebra de endomorfismos de este módulo es la suma
$\bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}_{F[t]} (F[t]/(p(t))^{\lambda_i},F[t]/(p(t))^{\lambda_j})$ .
El $(i,j)$ El tercer sumando tiene la dimensión $(\deg p)\min\{\lambda_i,\lambda_j\}$ . Por tanto, el álgebra de endomorfismos de esta parte primaria es de dimensión
$ (\deg p)\sum_{i,j} \min\{\lambda_i,\lambda_j\}$
Para obtener el centralizador de la matriz original, se sumarían estos números sobre todas las partes primarias. Por último, elevando $q$ a este número es la cardinalidad que desea.
Estos centralizadores se analizan con gran detalle en la tesis doctoral de Pooja Singla http://www.hbni.ac.in/phdthesis/allthesis/MATH10200604007_PSingla.pdf y un artículo relacionado en J. Algebra 2010 (disponible en arXiv en http://arxiv.org/abs/1001.5304v1 ).
Permítanme añadir algunos casos en los que se tiene una respuesta clara:
R.A. Horn, C.R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1991, Corolario 4.4.18]. Sea $F$ sea un campo y $n$ es un número natural. Si $A\in M_n(F)$ es una matriz cíclica, entonces $C_{M_n(F)}(A)$ es el conjunto de todas las matrices que son polinómicas en $A$ con coeficientes en $F$ .
Recordemos que una matriz cíclica en $M_n(F)$ es una matriz cuyos polinomios mínimo y característico son iguales.
[Lemma 3 de S. Akbari et al. / Linear Algebra and its Applications 390 (2004) 345-355] Sea $F$ sea un campo y $n\geq 2$ . Si $A$ es una matriz no escalar en $M_n(F)$ y $C_{M_n(F)}(A)$ tiene una dimensión máxima sobre $F$ entonces $\dim_F C_{M_n(F)}(A) = n^2 − 2n + 2$ y $A$ es similar a $aI_1 \oplus bI_{n−1}$ o $aI_n + bE_{12}$ para algunos $a, b \in F$ .
Para la notación, véase el último documento mencionado.
Te sugiero que busques artículos sobre los grafos conmutativos de anillos, puede que encuentres otros casos que se tratan en las pruebas. Uno de los artículos está citado arriba y el otro es S. Akbari, P. Raja / Linear Algebra and its Applications 416 (2006) 1038-1047
También preguntaste esto en Math Stack Exchange. Un caso complicado es cuando $A$ es unipotente. Algunos casos de tat se tratan en un famoso trabajo de P. Hall y G. Higman sobre "Reduction Theorems for Burnside's Problem" (Proceedings of London Mathematical Society, 1956). El centralizador de una matriz semisimple es relativamente fácil de entender. Por lo tanto, la esencia de la cuestión reside en la estructura del centralizador de una matriz nilpotente.
Esta estrategia publicitaria consiste básicamente en utilizar la pseudociencia para conseguir que los ingenuos compren un producto. El problema de la eficiencia en el diseño de altavoces no tiene nada que ver con la transferencia de momento del altavoz al aire. Eso es trivial, ya que la masa de aire que mueve un altavoz suele ser órdenes de magnitud menores que la masa del propio altavoz. En cambio, el límite (de baja frecuencia) viene dado por un cortocircuito acústico entre la parte trasera de la membrana en movimiento y la parte delantera. Básicamente, las dos ondas emitidas por la membrana interfieren destructivamente, si la longitud de onda es mayor que el tamaño de la membrana. Las posibles soluciones a este problema son
a) Haz que la membrana sea mayor que la longitud de onda del sonido más grave que hay que reproducir. Esto es poco práctico.
b) Absorber completamente la onda emitida por la parte posterior de la membrana, lo que elimina la interferencia. Esto supone una importante pérdida de potencia.
c) Introducir un desplazamiento de fase de 180 grados entre la parte delantera de la membrana y la trasera. De este modo, la interferencia destructiva se convierte en constructiva.
En la práctica, los diseños de altavoces más eficientes utilizan una combinación de los tres. Hay un gran número de otros problemas en el diseño de altavoces, pero ninguno de ellos se resuelve haciendo levitar el altavoz.
Esto es sólo un comentario elemental, pero puede ser demasiado largo para el comentario, probablemente usted lo sabe, pero sólo para completar.
Resulta que hace unos días pregunté casi (pero no exactamente) lo mismo:
Clases de conjugación en GL(F_2) ? GL(F_q)
Suena un poco diferente - el tamaño de las clases de conjugación en GL(F_q). Pero la clase de conjugación del elemento "C" es el tamaño de GL(F_q)/ el tamaño del centralizador del elemento "C". Porque el tamaño de cualquier órbita es |G|/|Estabilizador| y aquí tenemos acción por conjugación y el estabilizador es el centralizador. Así que si se conoce el tamaño del centralizador - se conoce el tamaño de la clase de conjugación.
La diferencia es, por supuesto, que tú preguntaste sobre Mat(F_q) mientras que la configuración anterior es sobre matrices no degeneradas GL(F_q).
Permítanme también anotar algunos hechos elementales para completar la información.
Si considera el elemento $C$ tal que su polinomio característico es irreducible, (entonces es automáticamente mínimo), entonces el tamaño del centralizador en Mat_n(F_q) es q^n (si entiendo bien) y q^n-1 en GL_n(F_q).
Una buena manera de pensar en este centralizador: dejemos que el consiser p(x) - char.pol. de "C". F_q[x]/p(x) es un campo F_q^n. A cualquier elemento del campo "a" en F_q^n puede corresponder una matriz M(a) - la matriz de multiplicación por "a":F_q^n -> F_q^n.
El mapa "a->M(a)" es claramente un homomorfismo de álgebras por lo que, en particular, todas las matrices M(a) conmutan entre sí. Proporcionan un centralizador de una matriz M(x).
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