Ext del módulo cíclico

Question

Hola, Ya hice esta pregunta en StackExchange sin respuesta, tal vez sea más adecuado aquí. Es bien sabido que $\operatorname{Ext}^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},A) \simeq A/pA$. ¿Existe una generalización de esta fórmula fuera de los PID? Me refiero a$\operatorname{Ext}^1_R(R/I,M) \simeq M/IM$ para ideales máximos o principales. ¿Es válido para los dominios de Dedekind? La prueba clásica que conozco para los grupos abelianos parece depender del principado del ideal y no pude pensar en una forma diferente de hacerlo funcionar o encontrar un contraejemplo. Gracias por cualquier aportación.

Answer 1

En general $Ext^1_R(R/I,M) \not\cong M/IM$.

Como ejemplo, tome un grupo abeliano finito$G$ y establezca$R := \mathbb{Z}G$ y deje que$I:= I_G = \ker(\mathbb{Z}G \to \mathbb{Z},\; g \mapsto 1)$ sea el ideal de aumento. $I_G$ es un ideal principal ya que$\mathbb{Z}G/I_G \cong \mathbb{Z}$. Entonces, con coeficientes triviales PS mientras $$Ext_R^1(R/I,\mathbb{Z})=Ext_{ZG}^1(\mathbb{Z},\mathbb{Z})=H^1(G;\mathbb{Z})=Hom(G,\mathbb{Z})=0$. Esto último se cumple porque$\mathbb{Z}/I_G\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$ es generado por$I_G$$g-1$ y$(g \in G)$.

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En general, se cumple lo siguiente: PS dónde $(g-1) \cdot 1 = 0$.

Si$$Ext^1_R(R/I,M)=\dfrac{Hom_R(I,M)}{i(M)}$ es generado finamente por$i: M \to Hom_R(I,M),\; m \mapsto (x \mapsto xm)$, podemos elegir una presentación$I$ que induzca una incrustación$a_1,...,a_n$. Por lo tanto PS

Answer 2

Sea$(R,\mathfrak m, k)$ un anillo local arbitrario (digamos, noetheriano) de dimensión al menos$2$ y$M$ arbitrario distinto de cero (digamos generado de forma finita)$R$ - módulo de$\mathrm {depth}_R M\geq 2$. Luego$\mathrm{Ext}^1_R(R/\mathfrak m,M)=0$, pero$M/\mathfrak m M\neq 0$ por Nakayama.