Medida hiperreal aditiva finita en [0,1) que asigna$b-a$ a$[a,b)$ o$(a,b]$ e infinitesimales a singletons

Question

¿Existe una medida finita aditiva con valor hiperreal en todos los subconjuntos de [0,1), o al menos los de Borel, que

1. asigna$b-a$ a$[a,b)$ y a$(a,b]$ para todos los$a\lt b,$ y

2. asigna un infinitesimal - idealmente, el mismo - a cada singleton?

Es (1) eso es un problema. La construcción de Bernstein-Wattenberg produce una medida finitamente aditiva que da (1) hasta infinitesimales. Pero sería bueno tener (1) exactamente.

Answer 1

La afirmación no es cierta, incluso si$f(x)\geq0$ para todos$x$: sea$f(x)$ $$ f (x) = \begin{cases}1-2n^2\left|x-\left(n+\frac1{2n^2}\right)\right|,&\ \text{ if } x\in[n,n+\frac1{n^2}),\\ \ \\ 0,&\ \text{ if }x\in [n+\frac1{n^2},n+1) \end {casos} $$ para $n\in\mathbb{N}$. Entonces $$ \ int_0 ^ \ infty f (x) \, dx \ leq \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac1 {2n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {12} <\ infty. $$ Pero$f(x)=0$ para todos los$x<1$.

Su afirmación es verdadera si también requiere que$f(n+\frac1{2n^2})=1$ sea monótono.

También se puede modificar este ejemplo para obtener$n$ para todos los$f$, y también se puede obtener$f(x)>0$ (por ejemplo, se podría obtener$x$ para todos los$\limsup_{x\to\infty}f(x)=\infty$ ).