Integral indefinida de la secante al cubo

Question

Necesito calcular la siguiente integral indefinida:

$$I=\int \frac{1}{\cos^3(x)}dx$$

Sé cuál es el resultado (de Mathematica):

$$I=\tanh^{-1}(\tan(x/2))+(1/2)\sec(x)\tan(x)$$

pero no sé cómo integrarlo yo mismo. He intentado algunas sustituciones sin éxito.

Equivalentemente, necesito saber cómo calcular:

$$I=\int \sqrt{1+z^2}dz$$

que sigue después de hacer el cambio de variables $z=\tan x$ .

Answer 1

Tenemos una potencia impar de coseno. Así que hay un procedimiento mecánico para hacer la integración. Multiplicar arriba y abajo por $\cos x$ . El fondo es ahora $\cos^4 x$ que es $(1-\sin^2 x)^2$ . Así que queremos encontrar $$\int \frac{\cos x\,dx}{(1-\sin^2 x)^2}.$$ Tras la sustitución natural $t=\sin x$ llegamos a $$\int \frac{dt}{(1-t^2)^2}.$$ Así que queremos la integral de una función racional. Usa la maquinaria de las fracciones parciales para encontrar los números $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tal que $$\frac{1}{(1-t^2)^2}=\frac{A}{1-t}+\frac{B}{(1-t)^2}+ \frac{C}{1+t}+\frac{D}{(1+t)^2}$$ e integrar.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}}% \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\half}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ $$\begin{align} &\color{#c00000}{\int\sec^{3}\pars{x}\,\dd x}= \int\sec\pars{x}\,\dd\tan\pars{x} = \tan\pars{x}\sec\pars{x} - \int\tan\pars{x}\bracks{\sec\pars{x}\tan\pars{x}}\,\dd x \\[3mm]&= \tan\pars{x}\sec\pars{x} - \int\sec^{3}\pars{x}\,\dd x +\int\sec\pars{x}\,\dd x \\[3mm]&= \tan\pars{x}\sec\pars{x} - \color{#c00000}{\int\sec^{3}\pars{x}\,\dd x} + \ln\pars{\sec\pars{x} + \tan\pars{x}} \end{align}$$

$$\color{#0000ff}{\large% \int\sec^{3}\pars{x}\,\dd x = \half\bracks{\tan\pars{x}\sec\pars{x} + \ln\pars{\vphantom{\LARGE A}\sec\pars{x} + \tan\pars{x}}}}$$

Answer 3

Pista: reescribir la integral como

$$\int \sec ^3 (x) \, dx$$

Recordemos la identidad $\sec^2(x)=\tan^2(x)+1$ .

Así que, sustituyendo, se obtiene

$$\int\sec(x)(\tan^2(x)+1) \, dx=\int\tan(x)\tan(x)\sec(x) \, dx+\int\sec(x) \, dx.$$

La primera integral puede resolverse mediante $u$ -sustitución e integración por partes, mientras que la segunda, es una identidad.

$$\int\tan(x) \, d\sec(x) = \tan(x)\sec(x)-\int\sec(x) \, d\tan(x)$$

Pero $\int\sec(x) \, d\tan(x)$ es la integral original. Así que escribe una ecuación y resuelve para $\int \sec^3(x)dx$

Answer 4

Con respecto a sus preguntas lea esto página de wikipedia .

Answer 5

Parece que Mathematica está utilizando el "cambio universal" para las integrales trigonométricas $\tan(x/2)=t$ : http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Integration_techniques/Tangent_Half_Angle .