Ramanujan serie Tipo $\sum _{k=1}^{\infty } \frac{\sinh (2 \pi k)}{2 \sqrt{2} \pi ^9 k^{11} (1-\cosh (2 \pi k))}$

Question

En Ramanujan cuaderno perdido veo series como <span class="math-container">$$\sum {k=1}^{\infty } \frac{343 \sinh \left(\sqrt{2} \pi k\right)}{32 \pi ^{11} k^{13} \left(\cos \left(\sqrt{2} \pi k\right)-\cosh \left(\sqrt{2} \pi k\right)\right)}=\frac{721 (-1)^{3/4} \pi ^2}{277992000}-\frac{721 \sqrt[4]{-1} \pi ^2}{277992000}$$</span> Mathematica verifica su corrección numéricamente, pero otras series no se pueden tratar con Mathematica, por ejemplo: <span class="math-container">$$\sum {k=1}^{\infty } \frac{\sinh (2 \pi k)}{2 \sqrt{2} \pi ^9 k^{11} (1-\cosh (2 \pi k))}=-\frac{1453 \pi ^2}{851350500 \sqrt{2}}$$</span> ¿Cómo podemos probar esta identidad? Gracias por ayudar.