$\int_{\mathbb{R}}|f(t)|^2dt=\int_{\mathbb{R}}|f'(t)|^2dt$ implica $f(t)=\mathbb{x}_{i}|f(t)|$

Question

Deje $f \in C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R}^m)$ ser tal que $f$ $f'$ son de cuadrado integrable y $$\{t:f(t)=0\} \subset \{t:f'(t)=0\}$$ $$ |\{t:f(t)=0\}|=n\in \mathbb{N}$$ Probar que si $\int_{\mathbb{R}}|f'(t)|^2\, dt=\int_{\mathbb{R}}|f|'^2(t)\,dt$, entonces no se $n+1$ puntos $$\mathbb{x}_{1},\mathbb{x}_{2},...,\mathbb{x}_{n+1}\in S^{m-1}=\{\mathbb{x}\in \mathbb{R}^m:|\mathbb{x}|=1\} $$ tal que para cada $t \in \mathbb{R}$, $f(t)=\mathbb{x}_{i}|f(t)|$ para algunos $i$.

Tengo este problema desde Postech Competencia de Matemáticas.

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un boceto. Transformación a coordenadas polares. Escribir $f(t) = r(t) \eta(t)$ donde$r \colon \mathbb{R} \to [0,\infty)$$\eta(t) \in S^{m-1}$. Entonces $$|f|'(t) = r'(t), \quad |f'(t)|^2 = |r'(t) \eta(t) + r(t) \eta'(t)|^2 = |r'(t)|^2 + r(t)^2 |\eta'(t)|^2$$ because $\eta \asesino \eta'$. Por lo tanto, en nuestra condición se convierte en $$\int r'^2(t) \, dt = \int r'^2(t) + r(t)^2 |\eta'(t)|^2 \, dt,$$ lo que implica que $r(t)\eta'(t) = 0$ todos los $t$. Por lo tanto,$r(t) = 0$, en cuyo caso estamos en una de las $n$ puntos donde $f(t) = 0$ o $\eta'(t) = 0$, en cuyo caso nos quedamos en la misma línea. Desde allí se $n+1$ segmentos separados por la $n$ puntos, hay en la mayoría de las $n+1$ diferentes líneas nos quedamos en.

Answer 2

Tenemos $ a_1<a_2<...<a_n \in \mathbb{R} $ tal que $ f(a_i) = f'(a_i) = 0 $ $f$ es distinto de cero en todas las demás. Deje $I_1 = (-\infty,a_1), I_{j+1} = (a_j,a_{j+1}) $$ 1\leq j\leq n-1 $$I_{n+1} = (a_n,\infty) $. Ahora si $ f = (f_1,....,f_m) $$ |f| = \sqrt{f_1^2+f_2^2+...f_m^2} $, por lo tanto $f$ es diferenciable en a $\cup_j I_j $ y $$ |f|' = \frac{2f_1f_1' + ...+2f_mf_m'}{2\sqrt{f_1^2+...+f_m^2}} = \frac{f.f'}{|f|} $$ Por lo tanto Cauchy-Swartz Desigualdad da ese $ |f|'^2\leq |f'|^2 $. Por lo $ |f'|^2-|f|'^2 \geq 0 $$ f\neq 0 $, es continua y no negativa para $ t \neq a_i $. Pero si nos han dado $$ \int_\mathbb{R} (|f'(t)|^2-|f|'(t)^2 )dt = 0 $$ We can conclude from above that $ |f|'^2 = |f'|^2 $ in $\cup_jI_j $ hence equality for the C-S inequality holds except at those $n $ points. Thus we have $ \lambda_j \in \mathbb{R} $ such that $ f' = \lambda_j f $ in $ I_j $(from linear independence) and hence $|f|' = \lambda_j|f| $. Now we have a piecewise differentiable function $ g : \mathbb{R} \rightarrow S^{m-1}\cup \{0\} $ se define como $$ g = \begin{cases} f/|f| &\mbox{if } f \neq 0 \\ 0 & \mbox{if } f = 0 \end{casos} $$ Así, en $I_j$ hemos $$ g' = \frac{|f|f'-f|f|'}{|f|^2} = \frac{\lambda_j|f|f-\lambda_j|f|f}{|f|^2} = 0 $$ Por lo $ g $ es constante a trozos,yo.e existe $ x_1,x_2,...,x_{n+1} $ tal que $ g(t) = x_j $$ t \in I_j$. Por lo tanto $ f(t) = x_j|f(t)| $ algunos $j$ todos los $ t \in \mathbb{R} $.