¿Podemos encontrar $ \lim_{n \to \infty } n\left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + ... \right ) $ ?

Question

Tengo un método,

Si consideramos $ a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{nx^{n-1}}{1+x} \ dx $

Entonces, $ \lim_{n \to \infty } n\left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + ... \right ) = \lim_{n \to \infty }a_{n} = \frac{1}{2} $

Pero, ¿alguien puede atacar este problema de una manera diferente y más estándar?

Answer 1

Lo tenemos: \begin{align} n\left (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \cdots \right ) &= n \left ( \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \cdots \right ) \\ &\le n \left ( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots \right ) \\ &\le n \int_{n-2}^{\infty} \frac{1}{2x^2}dx = \frac{n}{2(n-2)} \end{align} De la misma manera, \begin{align} n\left (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \cdots \right ) \ge \frac{n}{2(n+1)} \end{align}

Así, al dejar que $n$ tiende a infinito, obtenemos \begin{align} \lim_{n\to \infty} {n \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \cdots \right )} = \frac{1}{2} \end{align}

Answer 2

Tenemos que

$$H_N=\sum_{k=1}^{N} \frac{1}k=\ln N+\gamma+\frac1{2N}+O\left(\frac1{N^2}\right)$$

entonces

$$\sum_{k=1}^{2N} \frac{(-1)^{k+1}}k=H_{2N}-H_{N}=\log {2}-\frac1{2N}+O\left(\frac1{N^2}\right)$$

y

$$\sum_{k=n}^{2N} \frac{(-1)^{k+1}}k=\sum_{k=1}^{2N} \frac{(-1)^{k+1}}k-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}k=$$

$$=-\frac1{2N}+O\left(\frac1{N^2}\right)+\frac1{2(n-1)}+O\left(\frac1{n^2}\right) \sim \frac1{2(n-1)}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

entonces

$$n\left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + \ldots \right )\sim \frac n{2(n-1)}+O\left(\frac1{n}\right) \to \frac12$$

Answer 3

Como @sansae $$L= \lim_{n \to \infty } n\left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + ... \right )$$ $$\implies L=\lim_{n \to \infty}n\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+4)(n+5)}+...+\frac{1}{(n+k)(n+k+1)}+...+\right)$$ Pero convertir el límite a la integral como $$\implies L= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(1+k/n)(1+(k+1)/n)}= \int_{0}^{1} (1+x)^{-2} dx=\frac{1}{2}.$$

Answer 4

Esta sería mi heurística de la "servilleta":

Desde $\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} - \cdots\right)$ es el valor absoluto de la cola de una serie convergente, tiende a cero. Por lo tanto,

$$\begin{align*}\limsup_{n\to\infty} n&\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \cdots\right) \\ = 1 &- \liminf_{n\to\infty}\, (n+1)\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} - \cdots\right) \\ &+\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} - \cdots\right) \\ = 1 &- \liminf_{n\to\infty} n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \cdots\right)\end{align*}$$

A partir de aquí, encontramos que si el límite en cuestión existe, debe ser igual a $\frac{1}{2}.$

Answer 5

Como alternativa

$$n\left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + \ldots \right )=$$

$$=n\left(\frac12 \frac1n+\frac12 \frac1n- \frac{1}{n+1} + \frac12\frac{1}{n+2}+\frac12\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+\frac12\frac{1}{n+4}+\ldots\right)=$$

$$=\frac12+n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n+2k)(n+2k+1)(n+2k+2)} \to \frac12$$

En efecto,

$$n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n+2k)(n+2k+1)(n+2k+2)} \le n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n+2k)^3} =$$

$$=\frac1n\int_0^\infty \frac1{(1+2x)^3}dx=\frac 1{4n} \to 0$$