¿Hay funciones continuas $f,g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ de este tipo para cualquier $x$, $f(g(x))=\sin x$ y $g(f(x))=\cos x$?

Question

<blockquote> <p>¿Es posible encontrar funciones continuas <span class="math-container">$f,g : \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$</span> de tal manera que para cualquier <span class="math-container">$x$</span>, <span class="math-container">$f(g(x)) = \sin x$</span> y <span class="math-container">$g(f(x)) = \cos x$</span>?</p> </blockquote> <p>(La pregunta se me ocurrió mientras pensaba en otro problema.</p>