¿Qué se sabe sobre algunos modelos gaussiano masivos en una red?

Question

Recientemente comencé a jugar con algunos modelos gaussianos masivos en una red enrejada. La motivación es que trabajo en modelos sin masa y quiero entender el caso masivo porque parece más fácil de manejar (por ejemplo, la expansión de clusters tiene sentido gracias a los contornos que llevan masa). Considera un Hamiltoniano

$$ H(x_{\Lambda}) = \sum_{ \in E(\Lambda)} (x_i - x_j)^2 +\sum_{i \in \Lambda} U(x_i) $$

con $\Lambda$ una red enrejada (piensa principalmente en ${\mathbb Z}^d$ con $d = 2$), $E(\Lambda)$ el conjunto de sus aristas, $x_{\Lambda} \in (\Lambda \to {\mathbb R})$ y $U(y)$ un potencial.

Me gustaría saber qué se conoce sobre esta clase de modelos en general. Por ejemplo, para una clase relacionada de modelos sin masa pero con una función de dos puntos arbitraria Funaki and Spohn mostraron que no hay transición de fase si esa función es convexa.

1. Me pregunto si se conoce algún resultado similar para $U$ convexa (reemplazar por cualquier otra condición razonable).

Del mismo modo,

2. ¿Existe alguna condición necesaria en $U$ para que haya una transición de fase? Intenta dar algunos ejemplos.

Por ejemplo, parece natural que habrá una transición para un modelo de doble pozo simétrico (con ruptura espontánea de simetría a bajas temperaturas) y también se podría investigar el caso con uno de los pozos siendo más favorable. Creo que debería poder demostrar estas cosas con un poco de trabajo, pero supongo que ya alguien lo ha hecho antes.

3. ¿Podrías indicarme alguna referencia sobre algunos modelos de doble pozo?

Otro tipo de modelo en el que he estado pensando es (estableciendo $\beta = 1$ y dejando que $p$ juegue el papel de temperatura)

$$\exp(-U(y)) = p \exp (-a y^2) + (1-p) \exp (-b y^2)$$ con $a$ lo suficientemente pequeño y $b$ lo suficientemente grande. Este es un pozo grande con un pozo pequeño en su interior. Intuitivamente, el sistema debería estar en el pozo pequeño a bajas temperaturas ($p = 0$) y salir y comportarse libremente (con masa pequeña $a$) a temperaturas más altas ($p = 1$), por lo que este es un modelo simplificado de fusión. La única dificultad es que no tengo idea si esto realmente funciona y no puedo decidir si habrá o no una transición de fase.

4. ¿Alguna idea sobre este modelo? Sería maravilloso que me indicaras una referencia, pero no estoy seguro de que esto haya sido estudiado antes.

Answer 1

Desafortunadamente, me perdí esta pregunta cuando fue formulada... No sé si todavía estás buscando una respuesta, pero por si acaso...

1. Depende de lo que quieras decir con "no hay transiciones de fase". Si te refieres a la localización del campo en dimensiones 1 y 2 (en estas dimensiones, el campo sin masa tiene una varianza divergente), entonces esto (i) es fácil de lograr cuando U crece hasta el infinito, y (ii) incluso se puede lograr con una pequeña depresión negativa arbitrariamente pequeña en cero (esto incluso produce una decaimiento exponencial de las correlaciones), ver este artículo por ejemplo. Por supuesto, en todos estos casos, si permites condiciones de contorno locas, pueden ocurrir cosas desagradables.

2. Las transiciones de fase en potenciales de doble pozo han sido estudiadas en varios artículos. Utilizando la positividad de reflexión, puedes consultar este artículo de revisión. Esto también se ha hecho utilizando expansiones de clúster. No tengo referencias en mente, pero hay un artículo de Milos Zahradnik (bueno, parece ser este)... También puedes echar un vistazo a este documento y este otro, y muchos más...

3. Esto se ha hecho: ver este artículo y sus secuelas (por Biskup y colaboradores) y también la revisión mencionada anteriormente.

4. Como puedes ver, se sabe muchas cosas sobre ese tipo de modelos. Permíteme también recomendarte esta revisión mía que cubre este tipo de problemas (y otros).

Answer 2

La razón por la que no estás recibiendo respuestas aquí no es porque este modelo sea obscuro. Este modelo es el modelo estadístico más estudiado en la historia --- es la versión en retícula de la teoría de campos escalares auto-interactuantes. Supongo que la razón por la que estás teniendo dificultades para encontrar referencias para esta cosa en particular es porque los físicos saben mucho más de lo que las técnicas matemáticas pueden demostrar, pero la literatura estándar sobre los campos estadísticos casi siempre está hablando sobre este modelo.

Además del artículo de Kenneth Wilson de 1974 en Reviews of Modern Physics sobre Grupo de Renormalización, también me gusta el pequeño libro de Parisi "Teoría de Campos Estadísticos", pero también hay un tratamiento enciclopédico de Zinn-Justin, y hay libros de texto en todos los niveles. Hay demasiadas referencias para listar.

El modelo tiene un punto fijo de grupo de renormalización cerca de 4 dimensiones que está completamente descrito por los términos cuadráticos, cúbicos y cuárticos en el potencial efectivo a larga distancia V. No hay otros términos sobrevivientes --- cualquier potencial se renormaliza a un cuártico. Esto también es sorprendentemente cierto en 3 dimensiones, donde podrías esperar que $\phi^6$ contribuya. No lo hace porque la dimensión canónica del campo se altera y hace que este término sea irrelevante (esto se discute bien en Parisi).

Este también es el modelo de Ising, porque si tomas el término cuártico como grande, y el término de masa como grande negativo, reproduces un sistema de dos estados en cada sitio. El modelo de Ising se renormaliza para reproducir la situación general con un campo escalar, por lo que realmente no es necesario considerar el campo continuo completo.

Podría decir más, pero el campo es enorme, y cualquier resumen no va a ser completo ni preciso. Sugiero comenzar con la página de Wikipedia para el Modelo de Ising, para leer a Wilson, y a Parisi. También están los clásicos artículos de Symanzik sobre modelos poliméricos. Puedes ignorar cualquier trabajo riguroso sobre esto, tanto en el ámbito de la física como en el de las matemáticas. Ninguno de ellos es útil porque el marco riguroso adecuado aún no está disponible.