¿El entramado de todas las topologías se integra en el entramado de $T_1$ -¿topologías?

Question

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal infinito, y sea $\text{Top}(\kappa)$ sea el entramado de todas las topologías en $\kappa$ ordenado por $\subseteq$ . Sea $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ sea el entramado de todos los $T_1$ -topologías en $\kappa$ .

¿Existe un homomorfismo inyectivo de la red $\varphi: \text{Top}(\kappa)\to \text{Top}^{T_1}(\kappa)$ ?

Answer 1

¿Existe un homomorfismo inyectivo de la red $\varphi: \text{Top}(\kappa)\to \text{Top}^{T_1}(\kappa)$ ?

La respuesta es Sí, existe tal incrustación.

Argumentaré que si $\kappa$ es un cardinal infinito, entonces hay una incrustación reticular completa $\varphi: \text{Top}(\kappa)\to \text{Top}^{T_1}(\kappa\times\kappa)$ . Esto es suficiente para responder a la pregunta, por la siguiente razón. Cualquier biyección $\beta:\kappa\times\kappa\to\kappa$ induce un isomorfismo de red $\overline{\beta}: \text{Top}(\kappa\times\kappa)\to \text{Top}(\kappa)$ que mapea la topología cofinita en $\kappa\times\kappa$ a la topología cofinita en $\kappa$ . Una topología es $T_1$ si contiene la topología cofinita, por lo que $\overline{\beta}$ se restringe a un isomorfismo de red de $\text{Top}^{T_1}(\kappa\times\kappa)$ a $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ . Por lo tanto, cualquier incrustación reticular (completa) $\text{Top}(\kappa)\to \text{Top}^{T_1}(\kappa\times\kappa)$ puede ser alterada a una incrustación reticular (completa) $\text{Top}(\kappa)\to \text{Top}^{T_1}(\kappa)$ al componer con tal $\overline{\beta}$ .

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Si $U\subseteq \kappa$ , entonces por un extensión cofinita de $U$ Me refiero a un subconjunto $X\subseteq U\times \kappa$ donde, para cada $u\in U$ el conjunto $\{\lambda<\kappa\;|\;(u,\lambda)\in X\}$ es cofinito en $\kappa$ . Para que esto quede claro, permítanme explicarlo de una segunda manera utilizando los mapas de proyección $\pi_1, \pi_2\colon \kappa\times\kappa\to\kappa$ . $X$ es una extensión cofinita de $U$ si (i) $\pi_1(X)=U$ y (ii) para cada $u\in U$ tenemos $\pi_2((\{u\}\times\kappa)\cap X)$ es cofinito en $\kappa$ .

Si $\tau$ es una topología, sea $\widehat{\tau}$ sea la colección de todas las extensiones cofinitas de conjuntos en $\tau$ . Afirmo que

I. Para cualquier topología $\tau$ en $\kappa$ , $\widehat{\tau}$ es un $T_1$ topología en $\kappa\times\kappa$ .

II. El mapa $\tau\mapsto \widehat{\tau}$ es una una incrustación reticular completa de $\text{Top}(\kappa)$ en $\text{Top}^{T_1}(\kappa\times\kappa)$ .

No son difíciles de probar y establecen el resultado.

En las siguientes justificaciones, si $X$ es una extensión cofinita extensión de $U$ entonces puedo referirme a la fibras de $X$ con lo que me refiero a las fibras de $X$ en la primera proyección $\pi_1$ . Si $x\in\pi_1(X)$ , entonces la fibra de $X$ en $x$ es $(\{x\}\times\kappa)\cap X$ , que es un subconjunto de $\kappa\times\kappa$ . (Así, una extensión cofinita de $U\subseteq \kappa$ es un subconjunto si $U\times \kappa$ con fibras cofinitas).

Esquema de la prueba de I. (Subconjuntos menor y mayor) Los subconjuntos menor y mayor subconjuntos $\emptyset$ y $\kappa\times\kappa$ del conjunto $\kappa\times\kappa$ son extensiones cofinitas de los subconjuntos menor y mayor $\emptyset$ y $\kappa$ de $\kappa$ .

(Intersección finita) Si $X, Y\in \widehat{\tau}$ entonces son extensiones cofinitas extensiones de alguna $\pi_1(X)=U, \pi_1(Y)=V\in\tau$ . Entonces $X\cap Y$ es una extensión cofinita de $U\cap V\in\tau$ , así que $X\cap Y\in\widehat{\tau}$ .

(Unión arbitraria) Si $X_i\in\widehat{\tau}$ entonces son extensiones cofinitas de alguna $U_i\in\tau$ . Entonces $\cup X_i$ es una extensión cofinita de $\cup U_i\in\tau$ , así que $\cup X_i\in\widehat{\tau}$ .

( $T_1$ ) Todo subconjunto cofinito de $\kappa\times\kappa$ es una extensión cofinita de $\kappa$ , por lo que cualquier topología de la forma $\widehat{\tau}$ en $\kappa\times\kappa$ contiene todos los conjuntos cofinitos. Esto significa que cualquier topología de este tipo es $T_1$ . \\\

Esquema de la prueba de II. Topologías dadas $\tau_i$ en $\kappa$ debemos argumentar que
(Inj) el mapa $\tau\mapsto \widehat{\tau}$ es inyectiva,
(M) $\widehat{\bigcap \tau_i}=\bigcap\widehat{\tau_i}$ y
(J) $\widehat{\bigvee \tau_i}=\bigvee\widehat{\tau_i}$ .

El mapa $\tau\mapsto \widehat{\tau}$ es se ve fácilmente que preserva el orden (y 1-1), por lo que me centro en las afirmaciones
(M)' $\widehat{\bigcap \tau_i}\supseteq\bigcap\widehat{\tau_i}$ y
(J)' $\widehat{\bigvee \tau_i}\subseteq\bigvee\widehat{\tau_i}$ .

Empecemos con (M)". Elija un conjunto $X\in \bigcap\widehat{\tau_i}$ y que $U=\pi_i(X)$ . Entonces $U\in \bigcap \tau_i$ para todos $i$ , y $X$ es una extensión cofinita de $U$ , así que $X\in \widehat{\bigcap\tau_i}$ .

Ahora (J)'. Supongamos que $X\in \widehat{\bigvee\tau_i}$ . Entonces $X$ es una extensión cofinita de algún conjunto en $\bigvee\tau_i$ , y un conjunto típico de este tipo tiene la forma $\bigcup_i (U_{i1}\cap \cdots\cap U_{ik_i})$ donde $U_{ij}\in\tau_j$ . Ahora nos bastará con mostrar que $X$ también puede representarse en la forma $\bigcup_i (\overline{U}_{i1}\cap \cdots\cap \overline{U}_{ik_i})$ donde $\overline{U}_{ij}$ es una extensión cofinita extensión de algún conjunto en algún $\tau_j$ . Por supuesto, elegiremos $\overline{U}_{ij}$ para ser una extensión cofinita del conjunto $U_{ij}\in\tau_j$ , pero debemos explicar cómo elegir las fibras de $\overline{U}_{ij}$ . Si algunos $x\in U_{ij}$ también pertenece a $\pi_1(X)$ , entonces elige la fibra sobre $x$ en $\overline{U}_{ij}$ para que coincida con la fibra sobre $x$ en $X$ , que debe ser cofinito en $\kappa$ . Para cualquier otro $x\in U_{ij}$ no importa cómo se elija la fibra sobre $x$ en $\overline{U}_{ij}$ excepto que debe ser cofinita. (Para ser específicos, elija que esta fibra sea toda $\kappa$ .)

Ahora hemos elegido $\overline{U}_{ij}\in\widehat{\tau_j}$ para que $\bigcup (\overline{U}_{i1}\cap \cdots\cap \overline{U}_{ik_i})$ tiene la misma primera proyección y las mismas fibras que $X$ por lo que es igual a $X$ . Esto representa $X$ como elemento de $\bigvee \widehat{\tau_i}$ . \\\

Answer 2

Reclamación: Cualquier $\varphi$ tendría que mapear en un conjunto en el que todos los homomorfismos de $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ son constantes.

Esto se deduce de los teoremas 1 y 2 de

Hartmanis, Juris , Sobre el entramado de topologías , Can. J. Math. 10, 547-553 (1958). ZBL0087.37403 . (Ver https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0547-0553.pdf )

El teorema 1 dice que $\text{Top}(\kappa)$ sólo tiene homomorfismos triviales (son constantes o incrustaciones).

El teorema 2 dice que $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ tiene algunos no triviales; así que dejemos que $\psi$ ser uno de ellos.

Si la reclamación fracasa, entonces $\psi\circ\varphi$ sería un homomorfismo no trivial de $\text{Top}(\kappa)$ contradiciendo el Teorema 1.

Answer 3

Este es un largo comentario sobre la respuesta de Bjørn más que una respuesta en sí.

Hartmanis demuestra

Tema 1 Si $\kappa>2$ entonces $\text{Top}(\kappa)$ es un entramado simple.

Tema 2 Si $\kappa$ es infinito, entonces

(1) Para cualquier subconjunto finito $F\subseteq \kappa$ el mapa de restricción $\rho_F:\tau\mapsto \tau|_{\kappa-F}$ es un homomorfismo reticular completo, no constante y no inyectivo de $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ a $\text{Top}^{T_1}(\kappa-F)\;(\cong\text{Top}^{T_1}(\kappa))$ .

(2) Para cualquier subconjunto finito $F\subseteq \kappa$ , $\ker(\rho_F)$ es una congruencia propia y completa en $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ . Toda congruencia adecuada y completa tiene esta forma. Si $F\neq G$ son subconjuntos finitos distintos de $\kappa$ entonces $\ker(\rho_F)\neq\ker(\rho_G)$ . \\\

El teorema 1 implica que si $\varphi:\text{Top}(\kappa)\to\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ es una incrustación, entonces para cualquier congruencia $\theta$ en $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ hay que tener
Caso 1. la imagen de $\varphi$ está contenida en un único $\theta$ -clase, o
Caso 2. la imagen de $\varphi$ está contenida en un $\theta$ -transversal.
De lo contrario, $\varphi^{-1}(\theta)$ sería una congruencia propia no trivial de una red simple. Así, cada congruencia $\theta$ en $\text{Top}^{T_1}(\kappa)$ restringe las posibilidades de $\varphi$ .

El teorema 2 implica que hay muchos $\theta$ para elegir, es decir, todos los de la forma $\ker(\rho_F)$ .

Los términos 1 y 2 implican que hay muchas restricciones $\varphi$ debe satisfacer, pero no hay suficientes restricciones para descartar la existencia de $\varphi$ . En mi respuesta en esta página construyo $\varphi$ cuya imagen está contenida en un $\theta$ -transversal para cada $\theta$ de la forma $\ker(\rho_F)$ .