¿Para qué sirven los cardenales grandes?

Question

He oído hablar de grandes cardenales, y (creo que) entiendo un poco sobre cómo los defines, pero no entiendo por qué te molestarías.

¿Cuál es la prueba más simple o lo que sea que requiera el uso de grandes cardenales? ¿Hay alguna rama de las matemáticas que haga un uso particularmente pesado de ellos?

Answer 1

Dejaré la explicación de los grandes cardenales a alguien más conocedor y explicaré un lugar donde son útiles para ordenar las cosas: la teoría de categorías. En la teoría de categorías, te enfrentas constantemente a clases adecuadas (la categoría de todos los conjuntos, de todos los grupos, etc.). Para empeorar las cosas, quieres formar categorías functorales, pero debido al tamaño de las clases involucradas no hay forma de hacerlo en ZFC (y otras teorías de conjuntos como NBG o MK pronto se topan con un muro propio). El axioma de Grothendieck de los universos es un gran axioma cardinal (y me han dicho que es bastante suave comparado con los grandes cardenales que los teóricos de conjuntos consideran habitualmente) que nos permite ordenar las cosas para esta y otras construcciones sin prestar atención a los tamaños de los conjuntos. La verdad es que esto es principalmente una conveniencia, como si se prestara la debida atención, y a costa de circunloquios (y vastas tribulaciones) uno podría evitarlos. Pero en realidad, ¿por qué tomarse la molestia de resolver lo que es un tecnicismo menor no relacionado con el problema en cuestión, cuando se tiene este dispositivo de ahorro de mano de obra a mano?

Answer 2

La respuesta específica de G. Rodrigues llega a la cuestión general: los grandes cardenales se utilizan para examinar cuánto más se puede probar en la teoría de conjuntos de ZFC. La primera vez que descubrí los cardenales grandes (en el libro de Jech del 2000 Teoría del set ), me sorprendió. Un gran cardenal es sólo un "muy grande" conjunto, después de todo, pero no me di cuenta de que la existencia de tal conjunto cambió la naturaleza de lo que era matemáticamente demostrable. Por ejemplo, está, según Jech, el evento que lo inició todo: El trabajo de Ulam en el problema de medida . Es bien sabido que la medida de Lebesgue sobre los reales no está definida para todos los conjuntos, pero resulta ser indecidible sólo en ZFC si cualquier que existe una medida no trivial en los reales. Para obtener tal medida, uno debe asumir la existencia de un gran cardenal, que ahora se llama un cardinal medible . Así que pienso en los grandes cardenales como cosas que cambian la naturaleza misma de la "plomería" matemática. Cosas profundas.

En un nivel más práctico, creo que fue Dudley quien dijo que los grandes cardenales pueden ser útiles para ver por qué una prueba está fallando: si una prueba no funciona, ver si falla en un gran cardenal puede proporcionar una visión.