Galois Grupo de $x^{4}+7$

Question

Estoy tratando de encontrar el grupo de Galois de $x^{4}+7$ $\mathbb{Q}$ y todos los intermedios de las extensiones de entre $\mathbb{Q}$ y la división de campo de este polinomio. He encontrado que la división de campo de la es $\mathbb{Q}(i, \sqrt[4]{7}\sqrt{2})=\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{28})$.

Edit: (Justificando la división de campo se indica más arriba)

Las raíces del polinomio son $\sqrt[4]{7}\big(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2}\big)$ por lo que el desdoblamiento de campo es $E=\mathbb{Q}\bigg(\sqrt[4]{7}\big(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\pm i\frac{\sqrt{2}}{2}\big) \bigg)=\mathbb{Q}\bigg(\sqrt[4]{7}(\pm\sqrt{2}\pm i\sqrt{2} ) \bigg)$.

Tenemos $\sqrt[4]{7}(\sqrt{2}+i\sqrt{2}) \in E$$(\sqrt[4]{7}(\sqrt{2}-i\sqrt{2}) \in E$, por lo tanto su suma $=2\sqrt[4]{7}\sqrt{2} \in E \implies \sqrt[4]{7}\sqrt{2} \in E$. Luego también tenemos a $\sqrt[4]{7}\sqrt{2}+i\sqrt[4]{7}\sqrt{2}-\sqrt[4]{7}\sqrt{2} = i\sqrt[4]{7}\sqrt{2} \in E \implies \frac{i\sqrt[4]{7}\sqrt{2}}{\sqrt[4]{7}\sqrt{2}}=i \in E$. Por lo $\mathbb{Q}(i,\sqrt{4}\sqrt{7}) \subseteq E$. Pero de todas las raíces de $x^{4}+7$ están contenidas en $\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{7}\sqrt{2})$ así que de hecho ha $E=\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{7}\sqrt{2})=\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{28})$.

Estoy bastante seguro de que esto es correcto y he determinado que el grupo de Galois es el automorfismos de la forma $ \sigma: \bigg\{ \begin{array}{ll} i \mapsto \pm i\\ \sqrt[4]{28} \mapsto \pm i^{k}\sqrt[4]{28}& k \in \{0,1\} \end{array} $

que va a ser isomorfo a $D_{8}$, por lo que no debería ser de 10 intermedio de los subcampos.

Edit 2: yo creo que he encontrado una forma sistemática para encontrar los diez intermedio de los subcampos.

Todavía tratando de averiguar lo que los últimos tres intermedios son los campos en los términos de mi generadores.

$\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{28})\\ \mathbb{Q}(i,\sqrt{28})\\ \mathbb{Q}(i)\\ \mathbb{Q}(\sqrt[4]{28})\\ \mathbb{Q}(i\sqrt[4]{28})\\ \mathbb{Q}(i\sqrt{28})\\ \mathbb{Q}\\ $

Answer 1

Como se discute, la división de campo de $x^4+7$$\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt[4]{28}\bigr)$. Desde $\bigl|\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt[4]{28}\bigr) :\mathbb{Q}(i)\bigr| = 4$$|\mathbb{Q}(i) :\mathbb{Q}| = 2$, la extensión tiene el grado $8$, por lo que el grupo de Galois tiene orden de $8$. No es difícil ver que el grupo de Galois es diedro, y es generado por los automorfismos $r$ $s$ definido por $$ r(i) = i,\qquad r\bigl(\sqrt[4]{28}\bigr) = i\sqrt[4]{28},\qquad s(i)=-i,\qquad s\bigl(\sqrt[4]{28}\bigr)= \sqrt[4]{28}. $$ Tenga en cuenta que $s$ es sólo el complejo de la conjugación.

El diedro grupo de orden $8$ tiene más de diez diferentes subgrupos. Aquí está una lista de los correspondientes intermedios campos:

• Todo el grupo corresponde a $\mathbb{Q}$.

• El subgrupo cíclico $\{1,r,r^2,r^3\}$ corresponde a $\mathbb{Q}(i)$.

• El subgrupo $\{1,r^2,s,r^2s\}$ contiene $s$, por lo que el campo correspondiente debe ser real. Es $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt{7}\bigr)$.

• El tercer subgrupo $\{1,r^2,rs,r^3s\}$ de orden 4 debe, a continuación, corresponden a $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt{-7}\bigr)$.

• El subgrupo $\{1,s\}$ corresponde a la parte real de la división de campo, es decir,$\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[4]{28}\bigr)$.

• El subgrupo $\{1,r^2\}$ corresponde a $\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt{7}\bigr)$.

• El subgrupo $\{1,rs\}$ corresponde a $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[4]{-7}\bigr)$ donde $\sqrt[4]{-7}$ denota el principio de la cuarta raíz, es decir,$e^{i\pi/4}\sqrt[4]{7}$.

• El subgrupo $\{1,r^2s\}$ corresponde a $\mathbb{Q}\bigl(i\sqrt[4]{28}\bigr)$.

• El subgrupo $\{1,r^3s\}$ corresponde a $\mathbb{Q}\bigl(i\sqrt[4]{-7}\bigr)$.

• El subgrupo trivial corresponde a la totalidad de la división de campo de $\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt[4]{28}\bigr)$.

En cada caso, se puede comprobar que el campo de listado es correcto mediante la comprobación de que tiene el derecho grado y que sus elementos están fijados por la acción de los elementos del grupo de Galois.

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Edit: me gustaría responder a la pregunta de cómo uno encuentra todos estos subcampos. No se debe tomar más de un par de minutos para encontrar a todos ellos.

Dado un subgrupo $H$ del grupo de Galois $G$, una de las mejores maneras de encontrar los generadores para el campo fijo de $H$ es de simetrización. La forma en que esto funciona es que usted tome cualquier elemento $\alpha$ de la división de campo de la informática y de $$ \sum_{h\H} h(\alpha)\qquad\text{o}\qquad \prod_{h\H} h(\alpha). $$ Cualquiera de estas cantidades es invariante bajo la acción de $H$, y por lo tanto se encuentra en el campo fijo.

Por ejemplo, para calcular el campo fijo para el subgrupo $\{1,rs\}$ anterior, comenzamos con el elemento $\alpha = \sqrt[4]{28}$ y symmetrize: $$ \alpha + rs(\alpha) \;=\; \sqrt[4]{28} + \sqrt[4]{28} \;=\; 2\sqrt[4]{-7}. $$ Por lo tanto $\sqrt[4]{-7}$ se encuentra en el campo fijo. Desde $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[4]{-7}\bigr)$ tiene el derecho grado, debe ser el campo fijo para $\{1,rs\}$.

Del mismo modo, para calcular el campo fijo para $\{1,r^2\}$, comenzamos con $\alpha \sqrt[4]{28}$ y symmetrize multiplicatively: $$ \alpha\,r^2(\alpha) \;=\; \sqrt[4]{28} \bigl(-\sqrt[4]{28}\bigr) \;=\; -2\sqrt{7}. $$ Por lo tanto $\sqrt{7}$ se encuentra en el campo fijo para $\{1,r^2\}$. Claramente $i$ también se encuentra en este campo fijo, y $\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt{7}\bigr)$ tiene el derecho grado, por lo que el campo fijo para$\{1,r^2\}$$\mathbb{Q}\bigl(i,\sqrt{7}\bigr)$.