gran forzamiento del ccc que preserva el CH

Question

¿Puede nombrar un forzamiento ccc con las siguientes propiedades?

1) Sin átomos y con separación

2) El tamaño mínimo de un conjunto denso es grande, digamos que al menos $\aleph_3$ ojalá sea tan grande como usted quiera.

3) La existencia es coherente con la CH.

4) Conserva el CH.

Si se le ocurre alguna, enumere todas las que pueda.

Answer 1

Gracias a Michael Blackmon por esta idea:

Si P tiene el ccc y preserva el CH, entonces hay un suborden regular de tamaño contiuo R que suma todos los reales que P sumará. El factor que obliga a P/R es ccc y $\omega$ -distributiva, un álgebra de Suslin. Un teorema (¿de Jech?) dice que cualquier álgebra de Suslin tiene un tamaño máximo de $2^{\omega_1}$ . Por lo tanto, hay un límite en el tamaño de P.

Answer 2

Esta es una forma de producir ejemplos con densidades arbitrariamente grandes.

Dejemos que $\mathbb{P}$ sea cualquier forzamiento c.c.c. que preserve la CH, como por ejemplo el forzamiento de añadir un real de Cohen, y sea $\mathbb{Q}=\kappa^\ast$ sea el orden lineal decreciente de la longitud $\kappa$ un gran cardenal regular cardinal. Consideremos el producto de orden parcial $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ como una noción de forzamiento. Esto sigue siendo c.c.c., ya que todas las condiciones de la segunda coordenada son compatibles ya que es lineal. Pero todo conjunto denso debe ser también denso en la segunda coordenada y, por lo tanto, tener un tamaño de al menos $\kappa$ . Dado que la segunda coordenada es trivial como noción de forzamiento el producto $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ equivale a forzar $\mathbb{P}$ , que preserva la CH, y así $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ tiene todas sus propiedades deseadas.

Este tipo de ejemplo, sin embargo, puede llevarle a modificar la pregunta, ya que no es separativa.