Argumentos de sumas exponenciales

Question

Deje que$p$ sea un primo, deje que$\zeta_p=e^{2\pi i/p}$, sea$g\in{\bf F}_p$ un no cuadrado y deje que$\chi:{\bf F}_p^*\rightarrow{\bf C}^*$ sea un personaje no trivial. Entonces los números complejos $$\ chi (n) \ sum_ {r \ in {\ bf F} _p} \ chi (r ^ 2-g) \ zeta_p ^ {nr}, \ quad (\ hbox {$n\in{\bf F}_p^*$})$$ tienen los mismos argumentos módulo$\pi$.

Este es un corolario de algunos cálculos que hice con formas modulares. Me pregunto si este resultado se conoce o se ajusta a algún contexto conocido. También me interesaría una prueba que evite las formas modulares.

Answer 1

mira el automorfismo

$\sigma(2^\frac{1}{3}) = 2^\frac{1}{3}w$ y$\sigma(w) = w$ (ya que$2^\frac{1}{3}$ puede ir a$2^{1/3},2^{1/3}w,2^{1/3}w^{2}$)

$\tau(2^\frac{1}{3}) = 2^\frac{1}{3}$ y$\tau(w) = w^2$ (como$w$ ca ir a$w$ y$w^2$)

luego <$\sigma,\tau$> =$S_3$