Dejemos que G sea un grupo finito y H un subgrupo.
Dejemos que L(H⊂G) sea el entramado de todos los subgrupos intermedios entre H y G .
Pregunta: ¿Se puede realizar cualquier retículo finito como un retículo de subgrupos intermedios?
Nota: : Es cierto para todos los retículos distributivos finitos (véase el teorema 2.1 aquí ).
Este es un problema abierto. Véase
Artículo de Wikipedia: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Finite_lattice_representation_problem
Palfy y Pudlak (véase la descripción de código abierto en el artículo de Palfy Intervalos en retículos de subgrupos de grupos finitos )
Esta pregunta de MO de 2012: Dada una red L con n elementos, ¿existen grupos finitos H < G tales que L ≅ el entramado de subgrupos entre H y G?
Gracias. Observo que Palfy cree que no es cierto (ver la frase antes del teorema 1.7 p 484), así que como su artículo tiene más de 20 años, tal vez conozcamos un contraejemplo hoy.
La sección 4 del trabajo de Palfy está dedicada a los entramados de altura 2. ¿Sigue abierto en este caso? Si no, ¿hay algún progreso desde hace 20 años?
M19 no es correcta, la lista de valores pequeños n para el que no existe una representación conocida para Mn era, en el documento de Palfy (p487): n=16,23,35,36,37,40... .
El artículo más reciente que he encontrado sobre este problema es de Michael Aschbacher en 2013:
Retículas de sobregrupos en grupos finitos de tipo Lie que contienen una parabólica
Su introducción es un breve repaso de los últimos avances, recuerda el teorema de Palfy-Pudlak y la pregunta, y se centra en lo siguiente John Shareshian de la conjetura de la Sra. H. Su artículo es un primer paso para demostrar esta conjetura:
Dejemos que Bn sea la red de subgrupos del grupo cíclico Cm con m=p1p2…pn cuadrado libre y pi número primo.
Dejemos que L sea un entramado finito y L′ el poset L−{l,g} con l y g los menores y mayores elementos de L .
Conjetura de Shareshian : Si L′ es un gráfico desconectado con componentes conectados (B′ni)i=1,…,k y ni≥3 entonces L no es un entramado de subgrupos intermedios.
La red más pequeña L que se desprende de esta conjetura es la siguiente:
con k=2 , n1=n2=3
Esta imagen no es del todo correcta. Hay que eliminar los elementos superiores e inferiores de cada álgebra booleana. (Es decir, los dos abrigos y los dos átomos de la imagen no deberían estar ahí). Para que quede claro, no sé si la red ilustrada es isomorfa con un intervalo en la red de subgrupos de un grupo finito.
Una pequeña corrección más. Creo que la conjetura que me atribuyes es un caso especial de dos conjeturas más generales, una debida a Michael Aschbacher y la otra a mí.
@JohnShareshian: Gracias, arreglaré la imagen. Michael Aschbacher te atribuye esta conjetura en su artículo de arriba p72. ¿Prefieres que la llame conjetura de Aschbacher-Shareshian?
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