Dejemos que $d$ sea un número entero positivo, y que $\mathbb{R}^d$ estar dotado de la métrica euclidiana. Dado un conjunto infinito $S \subset \mathbb{R}^d$ sin puntos límite y un número entero positivo $n$ ¿hay siempre un punto $p \in \mathbb{R}^d$ y un radio $r \in \mathbb{R}^+$ de manera que el $r$ -Vecino de $p$ contiene exactamente $n$ puntos en $S$ ?
Si la respuesta es sí ¿Qué se puede decir en general sobre en qué espacios métricos se cumple esto?
¿Se mantiene el argumento en $Q^d$ ? Es decir, cómo se demostraría que siempre es posible elegir $p\in Q^d$ no equidistante de $x,y\in S$ ?
Gracias. -- Eso responde a la primera pregunta (y también demuestra que probablemente uno no debería hacer preguntas que estén demasiado lejos de su área de experiencia).
No, $\mathbb{Q}^d$ es contable. Tome una enumeración de los puntos, y elimine cada uno añadiendo un par de puntos a $S$ a la misma distancia de ese punto. Estos pares se pueden elegir de forma que no haya ningún punto límite de $S$ , digamos que haciendo que la distancia desde el origen sea al menos $i$ para cada punto del $i$ a la que se ha añadido el par. Algún otro argumento puede funcionar para encerrar $n$ puntos, pero no se puede elegir un centro genérico y expandir una esfera alrededor de este centro.
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Es imposible para los árboles métricos. El mismo argumento de André muestra que es posible en el caso de las variedades riemannianas conectadas.