La componente cero de los productos tensoriales de los mods graduados

Question

Te garantizo que hay una referencia fácil sobre esto, pero por alguna razón no la encuentro. Si puedes indicarme una referencia o simplemente escribir una breve prueba para mí, te lo agradecería.

Dado un anillo graduado $R_{\bullet}$ y una localización $R_{\bullet}^{*}$ . También disponemos de un $R_{\bullet}$ -mod, $M_{\bullet}$ .

Así que lo que quiero saber; es $\left(R_{\bullet}^{*}\otimes M_{\bullet}\right)_0=\left(R_{\bullet}^{*}\right)_0\otimes \left(M_{\bullet}\right)_0$ ?

Answer 1

Como contraejemplo, tomemos $R=k[t]$ con su habitual clasificación y $M=R(1)$ el módulo libre de rango uno generado en grado $1$ .