Generalizaciones sorprendentes

Question

Acabo de enterarme (gracias a Respuesta de Harry Gindi sobre MO y a Entrada del blog de Qiaochu Yuan en AoPS ) que el teorema del resto chino y la interpolación de Lagrange son en realidad dos casos de la misma cosa. Del mismo modo, el método de las fracciones parciales puede aplicarse a los racionales en lugar de a los polinomios. Me parece que ver un método aplicado en diferentes contextos, o simplemente aprender una conexión que no era evidente, me ayuda a apreciar una comprensión más profunda de ambos.

Así que pregunto, ¿puede ayudarme a encontrar más ejemplos de esto? Especialmente aquellos que te hayan inspirado personalmente.

Answer 1

Conexiones de Galois

Seamos sinceros, la correspondencia entre los grupos de Galois y la extensión de los campos es bastante caliente. La primera vez que lo vi quedé muy impresionado. Sin embargo, hace unos dos años, aprendí sobre los espacios de cobertura universal. Y, ¡vaya! Juro que mi comprensión de los espacios de cobertura se duplicó cuando el profesor me dijo que se trataba de una "correspondencia de Galois para los grupos fundamentales y los espacios de cobertura".

De nuevo, aquí hay un ¡enlace!

Answer 2

Estoy de acuerdo. Dedico gran parte de mi tiempo libre matemático a explorar esas conexiones.

Esta es una de las más básicas sobre las que reflexiono constantemente. Las reglas de la multiplicación de matrices codifican dos cosas:

• Cómo componer una transformación lineal $A$ con otra transformación lineal $B$ con respecto a una base fija.
• Cómo seguir un borde de tipo $A$ en un gráfico, y luego seguir una arista de tipo $B$ (donde $A$ y $B$ son sólo una partición disjunta del conjunto de aristas).

Esto significa que se pueden estudiar los paseos por los grafos estudiando cómo una matriz llamada matriz de adyacencia se comporta. Esto lleva a todo tipo de bellas matemáticas Por ejemplo, esta es la herramienta básica detrás del algoritmo PageRank de Google, y también en cierto sentido motivó el mecánica matricial formulación de la mecánica cuántica. A menudo intento refundir los resultados del álgebra lineal en términos de algún enunciado combinatorio sobre los paseos en los gráficos.

Answer 3

La ley de los cosenos y la ecuación de la varianza de una suma de variables aleatorias (posiblemente correlacionadas) son consecuencias de las propiedades básicas del espacio del producto interior. Detalles aquí .

Answer 4

Yo elegiría utilizar el distribución binomial negativa que devuelve la probabilidad de que haya X fallos antes del kº éxito, cuando la probabilidad constante de un éxito es p.

Utilizando un ejemplo

k=17 # number of successes
p=.6 # constant probability of success

la media y la sd de los fallos vienen dadas por

mean.X <- k*(1-p)/p
sd.X <- sqrt(k*(1-p)/p^2) 

La distribución de los fallos X, tendrá aproximadamente esa forma

plot(dnbinom(0:(mean.X + 3 * sd.X),k,p),type='l')

Por lo tanto, el número de fallos será (con un 95% de confianza) aproximadamente entre

qnbinom(.025,k,p)
[1] 4

y

qnbinom(.975,k,p)
[1] 21

Así que su inerval sería [k+qnbinom(.025,k,p),k+qnbinom(.975,k,p)] (usando los números del ejemplo [21,38] )

Answer 5

Las conexiones de Galois van más allá de lo que uno cree a primera vista. Una pequeña aplicación es en la teoría de modelos, donde la relación R entre oraciones de una teoría y modelos dada por t R M si la sentencia t es verdadera en el modelo M, conduce a teorías deductivamente cerradas frente a clases de modelos cerrados bajo ciertas operaciones, muchas de las cuales son de naturaleza algebraica. También surgen en la geometría algebraica y en la informática, entre otros campos. En Hay un libro sobre las conexiones de Galois editado por Marcel Erne; para los muy curiosos recomiendo consultarlo.