Rowlett está organizando El sonido de la simetría aquí. La prueba del Teorema 4 es exactamente como sugiere Noam Elkies: A través de la expansión asintótica de la traza de calor de Dirichlet, tanto el área como el perímetro están determinados por el espectro, y así para cualquier $n$-gonal $\Omega$ la proporción isoperimétrica $|\Omega|/|\partial\Omega|^2$ está determinada por el espectro. El contenido de la prueba es que esta proporción se maximiza globalmente entre los $n$-gonos en el $n$-gonal regular. Esto determina el $n$-gonal regular e implica que cualquier $n$-gonal isoespectral al $n$-gonal regular es de hecho isométrico a él. A menos que haya un punto en la prueba en el que estés confundido, creo que esto resuelve la cuestión.
(Tengo la sospecha de que el tercer coeficiente de la traza de calor en polígonos convexos $$ \frac{1}{24}\sum_{\mbox{ángulos }\alpha_i} \bigg(\frac{\pi}{\alpha_i} - \frac{\alpha_i}{\pi}\bigg) $$ también es extremal en el $n$-gonal regular. Esta podría ser otra forma de mostrar una versión del resultado deseado para los $n$-gonos convexos.)
5 votos
¿Estás familiarizado con los ejemplos de los años 1990 (por ejemplo, Gordon-Webb-Wolpert, Conway, otros) construidos con polígonos planos isoespectrales? Si deseas restringirte a $n$-gonos convexos, creo que "isoespectral $\Rightarrow$ isométrico" sigue estando abierto para dominios convexos en general. Si $n=3$, se sabe (Durso, Hillairet, Grieser-Maronna) que isoespectral $\Rightarrow$ isométrico.
1 votos
@Neal Gracias por tu respuesta. De hecho, el problema no está abierto desde noviembre de 2015 (ver Teorema 4, El Sonido de la Simetría). Estoy tratando de demostrar ese problema por mi cuenta utilizando algo más simple; por eso quería algunas pistas. (P.D. Sí, conozco el problema de Gordon-Webb-Wolpert. Es conveniente resolver ese problema antes de lanzarse a un problema como ese).
7 votos
¿No había un teorema que tanto el área como el perímetro son invariantes espectrales, por lo tanto $P \cong Q$ por la desigualdad isoperimétrica?
4 votos
@NoamD.Elkies Sí, área y perímetro son derivables de los coeficientes en la traza de calor. (También se puede obtener un valor derivado de los ángulos, ver Mazzeo-Rowlette arxiv.org/abs/0901.0019)
4 votos
Una búsqueda en la web de "el sonido de la simetría" arrojó un EP de la banda de metalcore Sky Eats Airplane, pero también jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.9.815 (Lu y Rowlett, Amer Math Monthly 122 (noviembre de 2015) 815-835), que, supongo, es lo que el usuario original tenía en mente. Hubiera sido mejor para todos si el usuario original nos hubiera dicho lo que sabía cuando publicó la pregunta.