Un $n$-gono es isoespectral a un $n$-gono regular (¿Isoespectral $\implies$ isometría?)

Question

Si un $n$-gono $P$ es isoespectral a un $n$-gono regular $Q$, ¿qué podríamos decir sobre la forma de $P$? De lo contrario, ¿qué podríamos decir sobre $Q? De hecho, se agradecerían algunas pistas o simplemente algunas ideas.

Aclaración: Estoy hablando sobre el espectro del laplaciano en el interior del polígono, actuando en el espacio de funciones que se anulan en el borde.

Answer 1

Rowlett está organizando El sonido de la simetría aquí. La prueba del Teorema 4 es exactamente como sugiere Noam Elkies: A través de la expansión asintótica de la traza de calor de Dirichlet, tanto el área como el perímetro están determinados por el espectro, y así para cualquier $n$-gonal $\Omega$ la proporción isoperimétrica $|\Omega|/|\partial\Omega|^2$ está determinada por el espectro. El contenido de la prueba es que esta proporción se maximiza globalmente entre los $n$-gonos en el $n$-gonal regular. Esto determina el $n$-gonal regular e implica que cualquier $n$-gonal isoespectral al $n$-gonal regular es de hecho isométrico a él. A menos que haya un punto en la prueba en el que estés confundido, creo que esto resuelve la cuestión.

(Tengo la sospecha de que el tercer coeficiente de la traza de calor en polígonos convexos $$ \frac{1}{24}\sum_{\mbox{ángulos }\alpha_i} \bigg(\frac{\pi}{\alpha_i} - \frac{\alpha_i}{\pi}\bigg) $$ también es extremal en el $n$-gonal regular. Esta podría ser otra forma de mostrar una versión del resultado deseado para los $n$-gonos convexos.)