En parte de mi investigación, ha surgido el siguiente problema.
Consideremos el sistema de ecuaciones (en números complejos)
$$z^b w^c = 1,\quad z^d w^e = 1.$$
Me interesa el conjunto de soluciones cuando restringimos tanto $z$ y $w$ para ser $a^{\textrm{th}}$ raíces de la unidad, para algún número entero positivo $a$ . Por supuesto, uno ve inmediatamente que $(z, w) = (1, 1)$ es una solución.
¿Cuáles son algunas buenas condiciones necesarias y suficientes para $a, b, c, d,$ y $e$ que garantizan que $(z, w) = (1, 1)$ ¿es la ÚNICA solución?
Para dar una idea del sabor de la respuesta con la que estaría más contento, hay que tener $\textrm{gcd}(a, b, d) = \textrm{gcd}(c, e) = 1$ porque si $z$ es cualquier $\textrm{gcd}(a, b, d)^{\textrm{th}}$ raíz de $1$ (que es necesariamente un $a^{\textrm{th}}$ raíz de $1$ ), entonces $(z, 1)$ es una solución a ambas ecuaciones.
También resulta que $z$ y $w$ deben ser ambos $\textrm{gcd}(a, be - cd)^{\textrm{th}}$ raíces de $1$ .
Me encantaría tener una respuesta como " $\textrm{gcd}(a, be - cd) = \textrm{gcd}(a, b, d) = \textrm{gcd}(c, e) = 1$ es necesario y suficiente", con, quizás, algunas estimaciones más sobre los términos de gcd.
Este problema también se puede generalizar (y también me interesa ese caso). Supongamos que nos dan $3$ ecuaciones
$$z^a w^b = 1,\quad z^c w^d = 1,\quad z^e w^f = 1,$$
con $z$ y $w$ números complejos de módulo $1$ .
¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para $a, b, c, d, e$ y $f$ que garantizan que la única solución simultánea es $(z, w) = (1, 1)$ ?
El problema anterior es un caso especial de esto (que viene de poner $b = 0$ . Claramente entonces, $z$ debe ser una raíz ath de la unidad. Resulta que si $b$ es $0$ utilizando el hecho de que $\textrm{gcd}(d, f) = 1$ se puede mostrar $w$ también debe ser un $a^{\textrm{th}}$ raíz de la unidad).
Y, por favor, siéntase libre de reetiquetar como sea apropiado.
Gracias de antemano.
