Solución a $1-f(x) = f(-x)$

Question

¿Podemos encontrar $f(x)$ dado que $1-f(x) = f(-x)$ para todos los reales $x$ ?

Empiezo por reordenar a: $f(-x) + f(x) = 1$ . Puedo encontrar un ejemplo como $f(x) = |x|$ que funciona para algunos valores de $x$ pero no todos. ¿Hay algún método en este caso? ¿Es posible?

Answer 1

$$f(x)=\frac{1}{2}+\text{(any odd function)}.$$ Por ejemplo, $f(x)=\frac{1}{2}+x$ o, digamos, $f(x)=\frac{1}{2}+99x^3+7x^5$ .

Answer 2

Por lo general, problemas sencillos como este te piden que encuentres a función que respeta la condición, no todo de ellos. Y (de nuevo) normalmente se empieza por comprobar si una función polinómica simple de primer grado podría ser una solución.

Por lo tanto, si

$$f(x) = ax + b$$

Entonces

$$f(x) + f(-x) = 1 \implies ax + b + a \cdot (-x) + b = 1 \implies 2b = 1 \implies b = 1/2$$

Por lo tanto, la condición es satisfecha por cualquier función del tipo:

$$f(x) = ax + 1/2$$

Answer 3

No soy un experto en gravedad, sin embargo, esto es lo que sé.

Hay una hipótesis sobre que la gravedad es una propiedad entrópica . El documento de Verlinde está disponible en arXiv . Dicho esto, me sorprendería que esto fuera cierto. La razón es sencilla. Como probablemente sabes, la entropía es una propiedad emergente de la probabilidad estadística. Si tienes partículas adimensionales que no interactúan en una mitad de una caja, con la otra mitad vacía y separada por una válvula, es la probabilidad, y por tanto la entropía, lo que impulsa la transformación. Si lo miras desde el punto de vista energético, la energía es exactamente la misma antes y después de la transformación. Esto funciona bien para la distribución estadística, pero cuando tienes que explicar por qué las cosas se atraen entre sí estadísticamente, es mucho más difícil. Desde el punto de vista probabilístico, sería lo contrario: cuantos más grados de libertad tienen las partículas, más entropía tienen. Un grupo tiene menos grados de libertad, por lo tanto tiene menos entropía, lo que significa que, en un sistema cerrado, la existencia de la gravedad es desconcertante. Esto sale de mi especulación, y creo que estoy equivocado. El documento parece ser un placer de leer, pero no he tenido la oportunidad de revisarlo.

Answer 4

Considere en cambio las funciones $g$ que satisfacen la identidad $-g(x)=g(-x)$ para todos $x$ . Si $(x,g(x))$ es un punto de la función $g$ entonces $(-x,-g(x))$ también es un punto (ya que $g(-x)=-g(x)$ ). Por lo tanto, toda función $g$ es simétrico cuando se rota por $180$ grados sobre el punto $(0,0)$ .

¿Cómo cambian las cosas para la identidad $1-f(x)=f(-x)$ ? Simplemente desplazamos el punto de simetría a $(0,1/2)$ . Aquí el punto $(x,f(x))$ implica el punto $(-x,1-f(x))$ .

La función $f$ satisface la identidad $1-f(x)=f(-x)$ para todos los números reales $x$ si y sólo si es simétrica cuando se gira alrededor del punto $(0,1/2)$ por $180$ grados.

Habrá muchas de estas funciones; algunas serán polinomios, otras no.

Answer 5

Dejemos que $$f(x) = \begin{cases} 1 \quad x>0, \\ 1/2 \quad x=0, \\ 0 \quad x<0\end{cases}.$$

Si $x > 0$ entonces $-x < 0$ para que $f(x)+f(-x)=1+0=1$

También en el caso de $x<0$ .

Si $x=0$ entonces $f(x)+f(-x)=(1/2)+(1/2)=1$ .