¿Derivación natural de la función exponencial compleja?

Question

Bourbaki muestra de forma muy natural que todo isomorfismo de grupo continuo de los reales aditivos a los reales multiplicativos positivos está determinado por su valor en $1$ y, de hecho, que todo isomorfismo de este tipo es de la forma $f_a(x)=a^x$ para $a>0$ y $a\neq 1$ . Obtenemos la exponencial real estándar (donde $a=e$ ) cuando observamos que para cualquier $f_a$ , $(f_a)'=g(a)f_a$ donde $g$ es un isomorfismo de grupo continuo de los reales multiplicativos positivos a los reales aditivos. Por el teorema del valor intermedio, existe algún real positivo $e$ tal que $g(e)=1$ (por nuestra anterior clasificación de los homomorfismos de grupo continuos, observamos que $g$ es de hecho el logaritmo natural).

Obsérvese que todas las deducciones anteriores se derivan de una pregunta natural. Nunca necesitamos adivinar nada para proceder.

¿Existe alguna forma natural como la anterior para derivar la exponencial compleja? La única forma que he visto de derivarla es la siguiente:

Derivar la exponencial real por algún método (función inversa al logaritmo natural, que es la integral de $1/t$ en el intervalo $[1,x)$ El método de Bourbaki, o alguna otra derivación), luego mostrar que es analítica con radio de convergencia infinito (donde converge uniforme y absolutamente), lo que significa que es igual a su serie de Taylor en 0, lo que significa que podemos, por un resultado general del análisis complejo, extenderla a una función entera en el plano complejo.

Esta derivación no me parece natural en el mismo sentido que la derivación de Bourbaki de la exponencial real, ya que requiere que nos fijemos en algunas propiedades analíticas de la función, en lugar de basarnos en sus propiedades algebraicas y topológicas únicas.

¿Alguien conoce una derivación similar a la de Bourbaki para la exponencial compleja?

Answer 1

TAPD = Tetraalquil-p-fenilendiamina

Esto se debe a que tiene un anillo de fenilo (bencenoide), con dos grupos amino (diamina) opuestos ( p ara) entre sí, y cada uno de esos grupos amino tiene dos sustituyentes alquílicos, dando cuatro (tetra) en total.

Answer 2

Entonces, ¿qué tiene de antinatural la ecuación diferencial compleja... f : C -> C que satisface f'(z) = f(z) y f(0)=1 ?

Answer 3

Dejemos que

f(x) = cos(x) + i\*sin(x)

Entonces

df/dx = -sin(x) + i\*cos(x)
      = i\*f(x)

Así que

∫(1/f(x)) df = ∫i dx
ln(f(x)) = ix  + C
f(x) = e^(ix + C) = cos(x) + i\*sin(x)

Desde f(0) = 1 , C = 0 Así que

e^(ix) = cos(x) + i\*sin(x)

(Actualizaré esto con LaTeX cuando esa funcionalidad esté disponible)

Answer 4

Puede comprobarlo usted mismo haciendo oscilar un péndulo o agitando una barra de cortina flexible. Si lo mueves más despacio que la frecuencia de resonancia, la masa (o el otro extremo de la barra de la cortina) simplemente sigue a tu mano, por lo que el desfase es cero. Si se mueve más rápido que la frecuencia de resonancia, la masa hace lo contrario de lo que hace la mano, por lo que el desfase es de 180 grados. A medida que te acercas a la frecuencia de resonancia de lento a rápido, la fase empieza a ir de 0 a 180, y la amplitud aumenta mucho, alcanzando un máximo en la frecuencia de resonancia y disminuyendo después. Es prácticamente imposible oscilar exactamente en la frecuencia de resonancia utilizando sólo la mano, pero si se pudiera, se vería que el desfase es de 90 grados, a medio camino entre 0 y 180.

Answer 5

Además, si te gustan las series de poder, el prólogo de la obra de Walter Rudin Análisis real y complejo parece exactamente lo que quieres. Es un hermoso desarrollo de exp así como sin , porque , e e incluso π Todo ello de forma bastante orgánica.