Conservación de los extremos de una función después de aplicar otra

Question

Supongamos que tenemos alguna función $f(x)$ con extremos locales en $x_1, x_2, \dots$ y una segunda función $g(x)$ que es continua, estrictamente creciente y no nula en todas partes en el rango de la $x_i$ . Will $g(f(x))$ tienen sus extremos locales en el mismo $x_i$ ¿y ninguna otra?

Si es así, ¿hay alguna flexibilización evidente de las $g$ ¿para que esto siga siendo cierto?

(Realmente estoy pensando en esto en el contexto del procesamiento de señales, buscando transformaciones que preserven la estructura visual de una imagen, pero parece una cuestión general que debe haber sido demostrada trivialmente por alguien hace 250 años...)

Answer 1

No es necesario asumir que $g$ es distinto de cero, y también podría ser estrictamente decreciente. Además, las condiciones sobre $g$ sólo tiene que sujetar la imagen de $f$ (que no tiene por qué ser el conjunto de $\mathbb{R}$ por ejemplo).

Por otro lado, si $g$ tiene un extremo local en $y=f(z)$ y $f$ es estrictamente creciente alrededor de $z$ entonces es obvio que estás en problemas, porque $g\circ f$ tendrá un extremo local en $z$ . Pero no tener extremos locales equivale a ser estrictamente monótono.

Lo único que podría relajar la conición sobre $g$ es que tiene extremos locales exactamente donde $f$ lo hace y se "anulan" o "amplifican".

Answer 2

Ahorrar dinero

Construyo matemáticas/estadísticas de mecanismos celulares. Por ejemplo, cómo afecta una determinada proteína al envejecimiento celular. La función del modelo es principalmente la predicción, pero también el ahorro de dinero. Es mucho más barato emplear a un solo modelizador que (digamos) a unos cuantos biólogos de laboratorio húmedo con los costes de equipo asociados. Por supuesto, la modelización no sustituye por completo al experimento, sino que sólo ayuda al proceso.