Sé que los difeomorfismos preservadores de volumen de una esfera^2 hacen un grupo sdiff(S2). Me gustaría saber si es un grupo de Lie, que supongo que si es que hace la interpolación más fácil (como con las rotaciones).
Así que esa es una pregunta, ¿es un grupo de Mentira?
¿También está conectada la ruta del grupo? Si es así, ¿cómo puedo interpolar entre dos elementos del grupo?
No son temas de los que sepa poco. Pido disculpas si lo expreso de alguna manera que suene ridícula.
En primer lugar, como otros han señalado, el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen será de dimensión infinita.
Para la segunda pregunta, existe una hermosa técnica conocida como el truco de Moser que la responde. El truco de Moser, en lenguaje elegante, dice que si (M,w) y (M,w') son dos estructuras simplécticas sobre la misma variedad, y si [w] = [w'] en H^2(M;R) (cohomología de Rham), entonces existe una familia de difeomorfismo f_t:M->M con f_0 = Id y tal que f_1 devuelve w' a w.
Para una variedad orientada y compacta de 2 dimensiones (como la esfera), tenemos H^2(M;R) = R (los números reales), y una forma simpléctica no es más que un elemento no nulo en R (que puede interpretarse como el volumen total). Dado que en este entorno, [w] = [w'] si ambos dan el mismo volumen con signo, se deduce del truco de Moser que el grupo de mapas preservadores del volumen (con signo) es conexo.
Si consideramos el volumen sin signo, habrá 2 componentes para los difeomorfismos de grupo que preservan el volumen sin signo. Esto es porque, como otros han señalado, uno tiene la noción de "grado" que muestra que el mapa x-> -x no es homotópico a Id, incluso a través de mapas continuos (no necesariamente preservando el volumen). Esto muestra que hay POR LO MENOS dos componentes. Hay a lo sumo dos componentes porque cada difeo que preserva el volumen puede ser conectado a Id o (x -> -x) por el truco de Moser de nuevo.
Edito: Me he expresado un poco mal. El truco de Moser dice que si tienes una familia w_t de formas simplécticas, entonces hay una familia de difeomorfismos como la que he descrito arriba. No me queda claro que lo que he dicho (que basta con tener [w] = [w'] en H^2) sea suficiente para garantizar que hay una familia de formas simplécticas que las conecta. Además, parece que el truco de Moser sólo garantiza que tienes un camino de difeos que empieza y termina en un difeo que preserva el volumen, pero puede no preservar el volumen para todo el tiempo.
Sin embargo, en el caso de S^2 (o de cualquier manifold cerrado y orientable), puedo arreglar las cosas. Dados w y w', formas de volumen, con [w] = [w'] (es decir, tienen el mismo volumen), entonces la forma w_t = tw + (1-t)w' es un camino de formas simplécticas que los conecta. Para una t fija, la forma w_t es cerrada ya que es una suma de formas cerradas (o, más fácil aún, porque tiene grado superior), y es no degenerada porque es una forma de volumen (la integración muestra que el volumen dado es el de w). El hecho de que el volumen sea constante para cada w_t implica que la trayectoria de diffeos preserva el volumen para todo el tiempo.
(No pude convencerme inmediatamente de que, en general, la suma convexa de formas simplécticas era no degenerada, de ahí mi duda inicial. De hecho, creo que no es necesario que sea no degenerada).
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