Resumiendo $1/n^2$ sobre subconjuntos de $N$ .

Question

¿Hay $2$ subconjuntos, digamos, $A$ y $B$ de los naturales tal que
$$\sum_{n\in A} f(n) = \sum_{n\in B} f(n)$$

donde $f(n)=1/n^2$ ?

Si $f(n)=1/n$ entonces hay muchos contraejemplos, lo cual es probablemente una consecuencia del hecho de que la serie armónica diverge: $$\frac23 = \frac12 + \frac16 = \frac14+\frac13+\frac1{12}$$
Y si $f(n)=b^{-n}$ para alguna base $b$ entonces es cierto porque para todo $M$ , $\sum_{n>M} f(n) < f(M)$ . (Esto es sólo la representación en base-b de un número real.El caso $b=2$ da una biyección la proyección $2^{N} \to [0,1])$ .

Así que tenemos una especie de caso intermedio aquí.
Además, ¿qué pasa si $A$ , $B$ :
-se requiere que sean conjuntos finitos?
-se requiere que sean infinitos y disjuntos?

Answer 1

Sí en ambos casos: 1) $\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{1}{12^2}$ 2) $\frac{1}{15^2}+\frac{1}{150^2}+\frac{1}{1500^2}+...+\frac{1}{20^2}+\frac{1}{200^2}+\frac{1}{2000^2}+...=\frac{1}{12^2}+\frac{1}{120^2}+\frac{1}{1200^2}...$

para el primer caso - si tenemos el triple pitagórico (a,b,c), tal que $a^2+b^2=c^2$ entonces: $\frac{1}{a^2 b^2}=\frac{1}{a^2 c^2}+\frac{1}{b^2 c^2}$

Answer 2

Si dos conjuntos disjuntos de naturales $A$ y $B$ satisfacer $\sum_{n \in A} n^2 = \sum_{n \in B} n^2$ , entonces, si $m = \prod_{n\in A} n \prod_{n \in B} n$ , $\sum_{n \in A} (n/m)^2 = \sum_{n \in B} (n/m)^2$ y cada uno de los $n/m$ es el recíproco de un número entero ya que $n|m$ .

Esto se extiende directamente a los poderes superiores (a través de copiar y pegar):

Si dos conjuntos disjuntos de naturales $A$ y $B$ satisfacer $\sum_{n \in A} n^k = \sum_{n \in B} n^k$ para un número entero positivo $k$ , entonces, si $m = \prod_{n\in A} n \prod_{n \in B} n$ , $\sum_{n \in A} (n/m)^k = \sum_{n \in B} (n/m)^k$ y cada uno de los $n/m$ es el recíproco de un número entero ya que $n|m$ .