Los no primos con $3^{n-1} \equiv 2^{n-1} \pmod n$

Question

¿Es cierto que hay infinitos enteros no primos $n$ tal que $3^{n-1} - 2^{n-1}$ es un múltiplo de $n$ ?

Answer 1

Creo que sé cómo demostrarlo sin usar los números de Carmichael.

Toma $n = 3^{2^k} - 2^{2^k}$ . Entonces no es difícil demostrar por inducción en $k$ que $2^k | n - 1$ . Por lo tanto, $3^{2^k} - 2^{2^k} | 3^{n-1} - 2^{n-1}$ (eso es cierto porque $a - b | a^r - b^r$ para cualquier $a, b$ y $k$ ).

Answer 2

como señaló Qiaochu Yuan, tomar una Número de Carmichael q por definición, 3 q -1 y 2 q -1 son ambos congruentes a 1 mod q por lo que su diferencia es un múltiplo de q . Como los números de Carmichael son infinitos, has terminado.

Answer 3

Es cierto para todo n tal que $(n,2)=(n,3)=1$ y para el que el orden de 2 y 3 módulo n es el mismo.