¿Dónde está el fallo en esta "prueba" de que 1=2? (Derivada de la suma repetida)

Question

Considere lo siguiente:

• $1 = 1^2$
• $2 + 2 = 2^2$
• $3 + 3 + 3 = 3^2$

Por lo tanto,

• $\underbrace{x + x + x + \ldots + x}_{x \textrm{ times}}= x^2$

Tome la derivada de lhs y rhs y obtenemos:

• $\underbrace{1 + 1 + 1 + \ldots + 1}_{x \textrm{ times}} = 2x$

Lo que se simplifica a:

• $x = 2x$

y por lo tanto

• $1 = 2$ .

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Está claro que algo va mal, pero no soy capaz de identificar mi error.

Answer 1

Creo que la cuestión discreta/continua es una especie de pista falsa. Para mí, el problema es olvidarse de utilizar la regla de la cadena.

Para no discrepar, piense en la función $F(u,v) = uv$ que podríamos considerar como $u + \dots + u$ , $v$ tiempos. Entonces $x^2 = F(x,x)$ . Diferenciando ambos lados se obtiene $2x = F_u(x,x) + F_v(x,x)$ Lo cual es perfectamente cierto. En el ejemplo falaz, el problema es esencialmente que el $F_v$ se ha omitido el término. En cierto sentido, se ha olvidado diferenciar la operación " $x$ veces" con respecto a $x$ ¡! Por supuesto, la notación hace que esto sea más fácil de hacer.

Answer 2

No se puede tomar la derivada respecto a x de x + x + x + ... (repetido x veces) un término a la vez porque el número de términos depende de x.

Incluso más allá de eso, si puedes expresar x 2 como x + x + x + ... (repetido x veces), entonces x debe ser un entero y si el dominio de la expresión son los enteros, la diferenciación (continua) no tiene sentido y/o las derivadas no existen.

( editar : Di mi primera razón primero porque la segunda razón puede ser suavizada tomando "repetido x veces" para significar algo como $\underset{\lfloor x\rfloor\mathrm{\ addends}}{\underbrace{x+x+\cdots+x}}+(x-\lfloor x\rfloor)\cdot x$ .)

Answer 3

Aquí está mi explicación de un viejo post de sci.math:

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Zachary Turner escribió el 26 de julio de 2002:

Sea D = d/dx = la derivada con respecto a x. Entonces

D[x^2] = D[x  +   x  + ... +   x  (x times)]
       = D[x] + D[x] + ... + D[x] (x times)
       =   1  +   1  + ... +   1  (x times)
       =   x

Un obvio argumento falaz análogo prueba ambos

• $ $ D[x f(x)] = Df(x) (x veces) = x Df(x)

• $ $ D[x f(x)] = Dx (f(x) veces) = f(x), mediante Dx = 1

frente al resultado correcto: su suma $\rm\:f(x) + x\, Df(x)\:$ según la regla del producto de Leibniz (= regla de la cadena para los tiempos). El error surge al pasar por alto la dependencia de x en ambos argumentos del producto $\rm\: x \ f(x)\:$ al aplicar la regla de la cadena.

El origen del error queda más claro si consideramos un discreto analógico. Esto también eliminará cualquier preocupación tangencial sobre el significado de "(x veces)" para un x no entero. En concreto, consideramos el operador de desplazamiento $\rm\ S:\, n \to n+1\ $ sobre polinomios $\rm\:p(n)\:$ con coeficientes enteros, donde $\rm\:S p(n) = p(n+1).\:$ He aquí una falacia similar

  S[n^2] =  S[n  +   n  + ... +   n  (n times)]
         =  S[n] + S[n] + ... + S[n] (n times)
         =  1+n  + 1+n  + ... + 1+n  (n times)
         = (1+n)n

Pero lo correcto es $\rm\ S[n^2] = (n+1)^2.\:$ Aquí la "regla del producto" es $\rm\ S[fg] = S[f]\, S[g],\ $ no $\rm\: S[f] g\:$ como en el caso anterior.

La falacia se reduce en realidad al operador la no conmutatividad. Sobre el espacio de las funciones $\rm\:f(x),\:$ considerar "x" como el operador lineal operador de multiplicación por x, por lo que $\rm\ x:\, f(x) \to x f(x).\:$ Entonces los operadores lineales $\rm\:D\:$ y $\rm\:x\:$ generan un álgebra de operadores de polinomios $\rm\:p(x,D)\:$ en indeterminaciones NO conmutativas $\rm\:x,D\:$ ya que tenemos

  (Dx)[f] = D[xf] = xD[f] + f = (xD+1)[f], so  Dx = xD + 1 ≠ xD

  (Sn)[f] = S[nf] = (n+1)S[f], so  Sn = (n+1)S ≠ nS

Este punto de vista revela el error de asumir erróneamente asumiendo la conmutatividad de los operadores $\rm\:x,D\:$ o $\rm\:n,S.$

Tal vez algo para reflexionar sobre la aburrida viajes de ida y vuelta ¡!

Answer 4

No puedes diferenciar el LHS de tu ecuación

x + x + x + ... (repetido x veces) = x^2

Esto se debe a que el LHS no es una función continua; el número de términos depende de x por lo que el LHS no está bien definido cuando x no es un número entero. Sólo podemos diferenciar funciones continuas, así que esto no es válido.

Answer 5

Existe la regla de la suma en la diferenciación: $$(f_1(x)+f_2(x)+...+f_k(x))'=f_1'(x)+f_2'(x)+...+f_k'(x),$$ donde $k$ es cualquier número entero positivo.
No podemos utilizar esta regla para tomar la derivada del LHS, porque $x$ en " $x$ times" no es un número, es una variable, como en "function $f(x)$ ".